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高三数学第一轮复习教案第9课时-函数的值域 .pdf

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常见问题

1、名师整理助你成功一课题函数的值域二教学目标理解函数值域的意义掌握常见题型求值域的方法了解函数值域的一些应用三教学重点求函数的值域四教学过程一主要知识 1 函数的值域的定义 2 确定函数的值域的原则 3 求函数的值域的方法二主要方法范例分析以后由学生归纳求函数的值域的方法常用的有直接法配方法判别式法基本不等式法逆求法反函数法换元法图像法利用函数的单调性奇偶性求函数的值域等三例题分析例 1 求下列函数的值域 1 2 32yxx 2 2 65yxx 3 31 2 x y x 4 4 1yxx 5 2 1yxx 6 1 4 yxx 7 2 2 22 1 xx y xx 8 2 211 212 xx yx x 9 1 sin 2cos x y x 解 1 一公式法略二配方法 22 12323 323 61212 yxxxQ 2 32yxx的值域为 23 12 改题求函数 2 32yxx 1 3 x的值域解利用函数的单调性函数 2 32yxx在 1 3 x上单调增当 1x 时原函数有最小值为 4 当3x 时原

2、函数有最大值为 26 函数 2 32yxx 1 3 x的值域为 4 26 2 求复合函数的值域设 2 65xx 0 则原函数可化为y 又 22 65 3 44xxx 04 故 0 2 2 65yxx的值域为 0 2 3 法一反函数法 31 2 x y x 的反函数为 21 3 x y x 其定义域为 3 xR x 原函数 31 2 x y x 的值域为 3 yR y 法二分离变量法 313 2 77 3 222 xx y xxx 7 0 2x 7 33 2x 函数 31 2 x y x 的值域为 3 yR y 4 换元法代数换元法设10tx 则 2 1xt 原函数可化为 22 14 2 5 0 ytttt 5y 原函数值域为 5 名师整理助你成功说明总结yaxbcxd型值域变形 22 yaxbcxd或 2 yaxbcxd 5 三角换元法 2 1011xx 设cos 0 x 则cossin2 sin 4 y 0 5 444 2 sin 1 42 2sin 1 2 4 原函数的值域为 1 2 6 数形结合法 23 4 1 4 5 41 23 1 xx yxxx xx 5y

3、函数值域为 5 7 判别式法 2 10 xx恒成立函数的定义域为R 由 2 2 22 1 xx y xx 得 2 2 1 20yxyxy 当20y即2y时即300 x 0 xR 当20y即2y时 xR时方程 2 2 1 20yxyxy恒有实根 22 1 4 2 0yyV 15y且2y 原函数的值域为 1 5 8 2 1 21 21 1111 2 1 21212122 2 xxxx yxx xxx x 1 2 x 1 0 2 x 11 11 22 2 2 11 22 22 xx xx 当且仅当 1 1 2 1 2 2 x x 时即 12 2 x时等号成立 1 2 2 y 原函数的值域为 1 2 2 9 法一方程法原函数可化为 sincos12xyxy 2 1sin 12yxy 其中 22 1 cos sin 11 y yy 2 12 sin 1 1 1 y x y 2 12 1yy 2 340yy 4 0 3 y 原函数的值域为 4 0 3 法二数形结合法可看作求点 2 1 与圆 22 1xy上的点的连线的斜率的范围解略例 2 若关于x的方程 3 2 22 3 x a

4、有实数根求实数a的取值范围解原方程可化为 3 2 22 3 x a 名师整理助你成功令 3 2 x t 则01t 2 2 3af tt 又 af t在区间 0 1 上是减函数 1 0 ff tf 即2 1f t 故实数a的取值范围为 21a 例 3 高考A计划考点 9 智能训练16 某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额拟在 2003 年度进行一系列的促销活动经过市场调查和测算化妆品的年销量x万件与年促销费用t万元 0 t之间满足 3x与1t成反比例如果不搞促销活动化妆品的年销量只能是1万件已知 2003 年生产化妆品的固定投入为3 万元每生产1 万件化妆品需再投入32 万元当将每件化妆品的售价定为年平均每件成本的150 与年平均每件所占促销费的一半之和则当年产销量相等 1 将 2003 年的年利润y万元表示为年促销费t万元的函数 2 该企业2003 年的促销费投入多少万元时企业的年利润最大注利润收入生产成本促销费解 1 由题设知 3 1 k x t 且0t时 1x 2k 即 2 3 1 x t 年生产成本为 2 32 3 3 1t 万元年收入为 21 150 32 3 3 12 t t 年利润 212 150 32 3 3 32 3 3 0 121 ytt t tt 2 9835 0 2 1 tt yt t 2 由 1 得 2 1 100 1 64132132 50 50242 2 1 2121 tttt y ttt 当且仅当 132 21 t t 即7t时 y有最大值42 当促销费定为7万元时 2003年该化妆品企业获得最大利润四巩固练习 1 函数 2 21 x x y 的值域为 0 1 2 若函数 logaf xx在 2 4 上的最大值与最小值之差为2 则a 2 2 2 或五课后作业高考A计划考点1 智能训练3 4 9 12 13 14

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