2020年新高考数学核心知识点2.1 等式与不等式（精讲精析篇）（教师版）

1、知识点透视备战高考专题2.1等式与不等式（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 不等式的性质及应用1.比较大小的常用方法(1)作差法一般步骤：作差；变形；定号；结论其中关键是变形,常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式当两个式子都为正数时,有时也可以先平方再作差(2)作商法一般步骤：作商；变形；判断商与1的大小关系；结论*(3)函数的单调性法将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值,根据函数的单调性得出大小关系2判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时,可结合不等式的性质,对数函数、指数函数的性质进行判断3求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时一般是利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围,是避免错误的有效途径4.不等式性质(1)对称性：abbb,bcac.(3)可加性：abacbc.(4)可乘性：ab,c0acbc；ab,c0acb,cdacbd.(6)乘法法则：ab0,cd0acbd.(7)乘方法则：ab0anbn(nN,n2)(8)开方法则：

2、ab0(nN,n2)【典例1】（2018上海高考真题）已知,则“”是“”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【解析】aR,则“a1”“”,“”“a1或a0”,“a1”是“”的充分非必要条件故选：A【典例2】（2018上海曹杨二中高一期末）如果,则下列不等式成立的是（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】A项,当时,则,故A项不一定成立；因为,两式相加得,故B项一定成立；当时,则,故C项不一定成立；D 项,当时,则,故D项不一定成立；故选：B【典例3】若,则的大小关系是（ ）A B C D 【答案】D【解析】,又,故选：D【特别提醒】考查的命题角度,主要有三个,比较数（式）值的大小、不等式的性质、不等式的性质与其它知识点的交汇热门考点02一元二次不等式的解法1.解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式(2)判：计算对应方程的判别式(3)求：求出对应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程有没有实根(4)写：利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式的解集*2分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不

3、等式进行恒等变形,转化为整式不等式(组)求解(1) ；(2) 3含有参数的不等式的求解,往往需要对参数进行分类讨论(1)若二次项系数为常数,首先确定二次项系数是否为正数,再考虑分解因式,对参数进行分类讨论,若不易分解因式,则可依据判别式符号进行分类讨论(2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,确定不等式是不是二次不等式,然后再讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式(3)对方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集【典例4】（2019全国高考真题（理）已知集合,则=ABCD【答案】C【解析】分析：本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法,渗透了数学运算素养采取数轴法,利用数形结合的思想解题详解：由题意得,则故选C【典例5】（2018上海曹杨二中高一期末）若集合,则=_；【答案】【解析】由 ,所以,又因为,所以.故答案为：【典例6】（2015广东高考真题（文）不等式的解集为 （用区间表示）【答案】【解析】由得：,所以不等式的解集为,所以答案应填：【特别提醒】随着学习的深入,对一元二次不等式的解法解法的独立考查,越来越少,往往作为一种工具、技能,与其它知识点交汇考查热门考

4、点03 一元二次不等式恒成立问题1.一元二次不等式恒成立问题的求解策略(1)不等式ax2bxc0对任意实数x恒成立或(2)不等式ax2bxc0对任意实数x恒成立或2一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)若f(x)0在集合A中恒成立,即集合A是不等式f(x)0的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含义求解参数的值(或范围)*(2)转化为函数值域问题,即已知函数f(x)的值域为m,n,则f(x)a恒成立f(x)mina,即ma；f(x)a恒成立f(x)maxa,即na.*3一元二次不等式在参数某区间上恒成立确定变量x范围的方法解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元,谁是参数一般情况下,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数即把变元与参数交换位置,构造以参数为变量的函数,根据原变量的取值范围列式求解【典例7】若关于的不等式对一切实数都成立,则实数的取值范围是_.【答案】【解析】分析：根据题意可知,只需的最小值大于即可,解不等式即可求出详解：因为,所以,解得.故答案为：【典例8】（2018天津高考真题（文）已知,函数若对任意x3,+）,f(x)恒成立,则a的取值范围是_

5、【答案】【解析】分类讨论：当时,即：,整理可得：,由恒成立的条件可知：,结合二次函数的性质可知：当时,则；当时,即：,整理可得：,由恒成立的条件可知：,结合二次函数的性质可知：当或时,则；综合可得的取值范围是,故答案为.【典例9】【2018河南南阳第一中学模拟】已知当时, 恒成立,则实数的取值范围是_.【答案】【解析】设,由于恒成立,所以,因此,整理得,解得,即实数 的取值范围是.【总结提升】三道例题,分别代表如下类型：（1）一元二次不等式在R上的恒成立问题（2）一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题（3）一元二次不等式给定参数范围的恒成立问题.在这三种类型中,转化与化归思想的应用意识要强,要体会具体转化方法的应用热门考点04 绝对值不等式1绝对值不等式的解法（1）形如|axb|cxd|的不等式,可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解（2）形如|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式绝对值不等式|x|a与|x|0)和|axb|c(c0)型不等式的解法|axb|ccaxbc(c0),|axb|caxbc或axbc(c0)2. 绝对值不等式的应用如果a,b是实数,那么|ab|

6、a|b|,当且仅当ab0时,等号成立【典例10】（2019天津高考真题（理）设,则“”是“”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】化简不等式,可知 推不出；由能推出,故“”是“”的必要不充分条件,故选B.【典例11】（2019上海曹杨二中高一月考）若关于的不等式的解集为,则实数的取值范围为_.【答案】【解析】由绝对值不等式的性质可得： ,又关于的不等式的解集为,即恒成立；所以只需.故答案为： 【典例12】解下列不等式：（1）；（2）；（3）【答案】(1)（2）（3）【解析】分析：根据公式或,可以解出（1）（2）；利用零点分段法可以解出（3）.详解：（1）或,解得或,所以不等式的解集为；（2）,解得,所以不等式的解集为；（3）原不等式等价为 或 或 解得或或,即,所以不等式的解集为.【总结提升】1.绝对值不等式的常用解法有：定义法,公式法,零点分段法,数形结合法,以及平方法.2. 形如|xa|xb|c(或c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根,将数轴分为(,a,(a,b,(b,)(此处设ac(

7、c0)的几何意义：数轴上到点的距离之和大于c的全体, (3)图象法：作出函数的图象,结合图象求解热门考点05 基本（均值）不等式及其应用1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提2条件最值的求解通常有三种方法一是“配凑法”.常见的变形技巧有：拆项,并项,也可乘上一个数或加上一个数等,以便于应用基本不等式.二是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值三是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解.*3. 利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)此类型的题目往往较长,解题时需认真阅读,从中提炼出有用信息,建立数学模型,转化为数学问题求解(2)当运用基本不等式求最值时,若等号成立的自变量不在定义域内时,就不能使用基本不等式求解,此时可根

8、据变量的范围用对应函数的单调性求解【典例13】（2019浙江高考真题）若,则“”是 “”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时,则当时,有,解得,充分性成立；当时,满足,但此时,必要性不成立,综上所述,“”是“”的充分不必要条件.【典例14】（2019上海市莘庄中学高一期中）已知且,则当=_时,取得最小值.【答案】2【解析】因为,所以当且仅当,即时,取得最小值.故答案为：【典例15】（2019上海交大附中高一期末）已知x,且满足,则的最小值为_【答案】【解析】分析：由题知,同除,得,再借助基本不等式得最小值详解：由题知,满足,则,同除,得,当且仅当,时取到等号故答案为：【典例16】已知正实数a,b满足a2b40,则u( )A有最大值 B有最小值C有最小值3 D有最大值3【答案】B【解析】a2b40,ba24,aba2a4.又a,b0,u3333,当且仅当a2,b8时取等号,故选B.【典例17】（2019江苏高一月考）周长为12的矩形,其面积的最大值为（ ）A.6B.7C.8D.9【答案】D【解析】设矩形的长宽分别为x,y,则2(x+y)=12,化为x+y=6.,当且仅当x=y=3时取等号.因此

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