2020学年高一数学第二册同步学案6.4 平面向量的应用（第三课时）（教师版）

1、精品学案备战高考专题6.4平面向量的应用（第三课时）运用一 周长面积最值【例1】（2019成都七中万达学校高三月考（文）在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c已知（1）求角B的大小；（2）若,求的最大值【答案】（1）（2）的最大值为8【解析】（1）由,根据正弦定理,有,即有,则有,又,所以（2）由（1）,根据余弦定理,得,即,所以,所以,当且仅当时,取等号故的最大值为8【举一反三】1在中,角、的对边分别为、,其中最大的角等于另外两个角的和,当最长边时,周长的最大值为_.【答案】【解析】依题意,结合三角形的内角和定理,得,所以,所以,的周长为,当时,即当时,的周长取得最大值,故答案为：.2若的面积为,且为钝角,则_；的取值范围是_【答案】 【解析】由题意可知,即,为钝角,则为锐角,所以,.为钝角,则,可得出.由正弦定理得,则,所以,因此,的取值范围是,故答案为：；.3（2019黑龙江哈师大附中高三月考（理）在锐角三角形中,分别为角,的对边,且.（1）求的大小；（2）若,求的周长的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）,又,将代入已知,得,得,即,又,即.（2）由正弦

2、定理得,的周长的取值范围.运用二 几何中运用【例2-1】（2019山东省实验中学高三月考）如图,在ABC中,边AB=2,且点D在线段BC上,(I)若,求线段AD的长；(II)若BD=2DC,求ABD的面积.【答案】（I）（II）【解析】（I）由可得由,可得,在三角形ADB中,由正弦定理可得,所以.（II）由得,所以,因为,所以,在中,由余弦定理得,即,可得或（舍去）,所以.【例2-2】（2019辽宁高一期末）如图,在中,点在边上,.（1）求边的长；（2）若的面积是,求的值.【答案】(1)2；(2) 【解析】（1）在中,设,则,由余弦定理得：即：解之得：,即边的长为2.（2）由（1）得为等边三角形,作于, 则,故在中,由余弦定理得：在中,由正弦定理得：,即：【举一反三】1（2019宁夏银川一中高三月考（理）如图,在四边形中,（1）求的正弦值；（2）若,且的面积是面积的4倍,求的长.【答案】（1）（2）【解析】（1）在中,设,由余弦定理得整理得,解得.所以 由正弦定理得,解得（2）由已知得,所以,化简得 所以 于是 因为,且为锐角,所以.代入计算因此2（2019江苏高一期末）如图,在中,点

3、在边上,为的平分线, （1）求；（2）若,求【答案】(1)(2) 【解析】(1)因为的平分线,令在中,由正弦定理,得 所以. (2) 因为,所以,又由,得,因为,所以所以.3（2019江苏高一期末）如图,在平面四边形中,（1）求的长；（2）求的长【答案】(1)；(2)【解析】（1）在中,则,又由正弦定理,得（2）在中,则,又即是等腰三角形,得.由余弦定理,得所以. 在中,由余弦定理,得所以.运用三 实际运用【例3-1】已知A,B两岛相距100km,B在A的北偏东,甲船自A以40km/h的速度向B航行,同时乙船自B以30km/h的速度沿方位角（即东偏南）方向航行,当两船之间的距离最小时,两船合计航行距离（）A等于B小于100kmC大于100kmD等于100km【答案】C【解析】由题意得,两船航行方向所在直线的夹角为,设航行时间为小时,此时两船之间的距离为km,则甲船到B的距离为km,乙船离B的距离为km,由余弦定理可得：,因此,当时,取得最小值,即取得最小值；此时两船合计航行距离为km.故选C【例3-2】（2019河南高二月考）如图,为了测量某湿地,两点间的距离,观察者找到在同一直线上的

4、三点, 从点测得,从点测得,从点测得现测得千米,千米,则,两点间的距离为（ ）A千米B千米C千米D千米【答案】C【解析】在中,在中,利用正弦定理得到： 在中, 利用余弦定理得到： 故答案选C【举一反三】1（2019西藏拉萨市北京实验中学高二期中）在山脚A处测得山顶B的仰角,沿倾斜角为的山坡向山顶走1000米到达点,又测得山顶仰角,则山高( ) A.500B.1000C.1200D.1500【答案】B【解析】由题意,在中,由正弦定理可得,则,故.故选B.2（2019湖南高一期末）如图,某人在点处测得某塔在南偏西的方向上,塔顶仰角为,此人沿正南方向前进30米到达处,测得塔顶的仰角为,则塔高为（ ）A20米B15米C12米D10米【答案】B【解析】设塔底为,塔高为,故,由于,所以在三角形中,由余弦定理得,解得米.故选B.3如图,测量河对岸的塔高时可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与,测得,并在点测得塔顶的仰角为,则塔高等于（ ）ABCD【答案】D【解析】在中,由正弦定理得,在中,故选：D.1（2019甘肃临夏中学高二月考（理）一艘船上午在处测得灯塔在它的北偏东处,之后它继续沿正北方向匀速航

5、行,上午到达处,此时又测得灯塔在它的北偏东处,且与它相距,此时船的速度为（ ）ABCD【答案】B【解析】因为在中,已知,且边,利用正弦定理可得: ,又因为从A到S匀速航行时间为半个小时,所以速度应为:.故答案选B.2（2019甘肃兰州一中高二月考）某船只在海面上向正东方向行驶了xkm迅速将航向调整为南偏西60,然后沿着新的方向行驶了3km,此时发现离出发点恰好3km,那么x的值为（）A3B6C3或6D4或6【答案】C【解析】设出发点为,向东航行到处后改变航向到达,则,由正弦定理可得：,即,或,（1）若,则,为直角三角形,（2）若,则,为等腰三角形,故选：3（2019福建高三月考（文）甲船在岛A的正南B处,以的速度向正北航行,同时乙船自岛A出发以的速度向北偏东60的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间为（ ）ABCD【答案】A【解析】两船轨迹及距离最近时两船连线构成一个以B岛为顶点,角度是120度的三角形,设两船距离最近时航行时间为t（h）,距离为s（km）,此时甲船到B岛距离为（10-4t）km,乙船距离B岛6t（km）,且有,由余弦定理得,化简得,抛物线开口向上,在对称

6、轴处有最小值,即当时,取最小值.选A.4如图,在离地面高的热气球上,观测到山顶处的仰角为,山脚处的俯角为,已知,则山的高度为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据题意,可得在中,所以,因为在中,由正弦定理,得,在中,故选：C.5（2019海南枫叶国际学校高一期末）如图,从地面上C,D两点望山顶A,测得它们的仰角分别为45和30,已知米,点C位于BD上,则山高AB等于()A100米B米C米D米【答案】C【解析】设,中,中,解得：米.故选C.6如图所示,为测一树的高度,在地面上选取两点,从两点分别测得树尖的仰角为,且两点之间的距离为,则树的高度为（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】设树高为,则（）本题正确选项：7（2019河南高二月考）如图,是某防汛抗洪大坝的坡面,大坝上有一高为20米的监测塔,若某科研小组在坝底点测得,沿着坡面前进40米到达点,测得,则大坝的坡角（）的余弦值为（ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】因为,所以.在中,由正弦定理得,解得.在中,由正弦定理得,所以.又,所以,所以.故选：A.8（2019新疆北师大克拉玛依附属学校高一期末）如图,在坡度一定的山坡处测得山顶上一

7、建筑物的顶端对于山坡的斜度为,向山顶前进100米到达后,又测得对于山坡的斜度为,若米,山坡对于地平面的坡角为,则（）ABCD【答案】C【解析】在中,在中,又,.故选C.9如图所示,某同学在操场上某点B处测得学校的科技大楼AE的顶端A的仰角为,沿BE方向前进30 m至点C处测得顶端A的仰角为,继续前进 m至D点,测得顶端A的仰角为,测等于（ ）A.15B.10C.5D.20【答案】A【解析】由题意知 ,设,则 ,即.本题选择A选项.10（2019江苏省天一中学高二期末）如图,在三角形中,D为边上一点, 且,则为_. 【答案】【解析】如图,延长AD,过点C作,垂足为E,设,则, ,则,.故答案为:.11（2019辽宁沈阳二中高三月考（文）在,角、所对的边分别为、,已知.（1）求的值；（2）若,边上的中线,求的面积.【答案】(1) (2)答案不唯一,见解析【解析】（1）在中,因为,又已知,所以,因为,所以,于是.所以.（2）在中,由余弦定理得,得解得或,当时,的面积,当时,的面积.12（2019广西高一月考）如图,是的直径,点、在圆上,且四边形是平行四边形,过点作的切线,分别交延长线与延长线于点、,连接.（1）求证：是的切线；（2）已知圆的半径为2,求的长.【答案】（1）详见解析（2）【解析】（1）证明：连结,如图,四边形是平行四边形,而,四边形是菱形,和都是等边三角形,为切线,在和中,是的切线；（2）解：在中,而,.,.13（2019重庆一中高三月考）如图,在中,.（1）若,求的长；（2）若的垂直平分线与分别交于两点,且,求角的大小.【答案】（1）3；（2）.【解析】(1)在中,由余弦定理有,即,解得.（2）如图,连接,由题设,有,在中,由正弦定理有,故.在直角中,所以,而 ,故.14如图,在平面四边形中,已知,.在边上取点,使得,连接、.若,.（1）求的值；（2）求的长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在中,由正弦定理,得；（2）,所以,所以.因为,所以为直角三角形,又,所以.在中,由余弦定理得,因此,.15（2019深圳市高级中学高三月考（文）在ABC中,点D在线段AC上,且,（1）求；（2）求BC和AC的长【答案】(1) ；(2) BC=3,AC=3【解析】(1).(2)

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