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线性代数（丁友征）线性代数作业.doc

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常见问题

1、班级姓名学号线性代数第一章阶行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）（2）2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）2 4 1 3；（2）1 3 (2n-1) 2 4 (2n)；（3）1 3 (2n-1) (2n) (2n-2) 2.3、写出四阶行列式中含有因子的项：4、计算下列行列式：(1) （3) 5、证明：(1)(2) (3) =(4) 6、计算下列各行列式（为阶行列式）：其中对角线上元素都是,未写出的元素都是0; 其中 7、用克莱姆法则解方程组：8、问取何值时,齐次方程组有非零解？第一章复习题一、填空题1在函数中，的系数是 .2设为实数，则当，且时，34阶行列式 .4方程的全部根是 .二、解答题1设计算，其中是中元素的代数余子式.2设，证明：可以找到数使得3试证：如果次多项式对个不同的值都是零，则此多项式恒等于零. 第二章矩阵与线性方程组（2.12.4）1已知两个线性变换求从变量到变量的线性变换。2设求及.3计算； 4设,求.5设求.6设都是阶对称阵,证明是对称阵的充要条件是.7设, ，问：(1)吗?(2)吗?(3)吗?8举反例说明

2、下列命题是错误的:（）若,则;（）若,则或;（）若,且, 则.9已知线性变换求从变量到变量的线性变换。10求下列方阵的逆阵：（3） 11解矩阵方程： 12、利用逆阵解线性方程组： .13、设（为正整数）,证明：.14、设, 求.15、设, 其中, 求.16.设矩阵可逆，证明其伴随阵也可逆，且。17、设阶方阵的伴随阵为,证明: 若,则； .18.设，求。19、设,求及及.第二章矩阵与线性方程组（2.52.7）1. 把下列矩阵化为行最简形：（1）（2）2. 利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆： (2) 3. 设, , 求X使AX=B.4. 求作一个秩是4的方阵，使它的两个行向量.5. 求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式. （3）6. 解下列线性方程组(1)(2)7.当为何值时，非齐次线性方程组(1)有惟一解；(2)无解；(3)有无穷多解，并求其通解. 第二章复习题一、填空题1设均为4维列向量，且则 .2设满足则 .3.设为3维列向量，是的转置，若则 .4设、均为阶矩阵，则= .5.设为4阶行列式，为行列式，且，则= .二、选择题1. 设为阶矩阵，是的伴随矩阵，则等于(A) (

3、B) (C) (D)2. 设为阶方阵，是经过若干次矩阵的初等变换后所得到的矩阵，则有(A) (B) (C)若则一定有， (D) 若则一定有3. 设3为矩阵，其中均为3维行向量，且已知行列式则行列式等于(A)1， (B) 2， (C)3， (D)4.4 . 设为同阶可逆矩阵，则(A) (B) 存在可逆矩阵使得 (C) 存在可逆矩阵使得 (D) 存在可逆矩阵和，使得5设维行向量矩阵其中为阶单位矩阵，则=(A) (B) (C) (D) 6. 设阶方阵满足关系式其中是阶单位阵，则必有(A)， (B) ， (C) (D) 7. 设A为矩阵，S为n阶可逆矩阵，且，则( ).(A) (B) (C) (D) 8. 设，其中为三维列向量，, ，则B=( ).(A) (B) (C) (D)9. 设A为型矩阵，B为型矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB=E，则（）(A) 秩r(A)=m, 秩r(B)=m (B) 秩r(A)=m, 秩r(B)=n(C) 秩r(A)=n, 秩r(B)=m (D) 秩r(A)=n, 秩r(B)=n三、解答题1. 设求2设是的伴随矩阵，求行列式的值.3。已知是阶方阵，且为阶单位阵，证明

4、4设是非零矩阵，而且满足其中为行列式中的代数余子式，求行列式的值.5. 设其中是阶单位阵，是维非零列向量，是的转置.证明：（I）的充分必要条件是（II）当时，是不可逆矩阵.6. 设为可逆矩阵，且. 1) 求证为可逆矩阵； 2) 当时，求矩阵.7. 设A，B均为3 阶矩阵，且满足，其中E为3阶单位矩阵.（1）证明：矩阵A-2E可逆；（2）若，求矩阵A.8. 已知矩阵，且矩阵X满足，其中E为3阶单位矩阵，求X.第三章向量组的线性相关性1设，求及.2设,其中，求.3设，证明向量组线性相关.4设，且向量组线性无关，证明向量组线性无关.5设向量组线性无关，向量可由向量组线性表示，而向量不能由向量组线性表示.证明:个向量必线性无关.6当为何值时，向量组，线性相关.7选择题：向量组线性无关的充分必要条件是（）均不为零向量；中任意两个向量的分量不成比例；中任意一个向量均不能由其余个向量线性表示；中有一部分向量线性无关。如果向量可由向量组线性表示，则（）存在一组不全为零的数，使成立。对的线性表示不唯一; 向量组线性相关; 存在一组全为零的数，使成立。(3) 设向量组A: 向量组

5、B: 则 ( ) 向量组A相关B相关; 向量组A无关B无关; 向量组B无关A无关; 向量组A无关B无关.(4) 设向量组线性相关, 线性无关，则( ) 向量组线性相关; 向量组线性无关; 可用线性表示; 可用线性表示。8填空题：设线性相关, 线性无关,则线性_关. 设线性相关,则满足关系式_ .(3) 已知线性相关, 不能由线性表示，则线性 _.(4) 若，则向量组是线性 .9求下列向量组的秩，并求一个最大无关组：10利用初等变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示.（1）（2）11已知向量组，与向量组，具有相同的秩，且可由向量组线性表示，求的值.12选择题：(1) 设向量组秩为,则 ( ) 必定向量组中任意小于个向量的部分组无关; 向量组中任意个向量线性无关; 向量组中任意个向量必线性相关.(2) 设和为两个维向量组，且使秩=秩=，则（）两个向量组等价；秩（,）=；被线性表示时，也可被线性表示; 当时两向量组等价。13. 解下列齐次线性方程组： 14. 写出一个以为通解的齐次线性方程组.15. 解下列非齐次线性方程组： 16. 非齐次线性方程组当l取何值时有解？并求出它的解.17. 设. 问l为何值时, 此方程组有唯一解、无解或

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