2019~2020学年度苏锡常镇四市高三数学教学情况调研（一）解析版

1、1 2019 年年 2020 学学年年度度苏苏锡锡常常镇镇四四市市高高三三教教学学情情况况调调研研 一一 数数学学 一一 填填空空题题 本本大大题题共共 14 小小题题 每每小小题题 5 分分 共共计计 70 分分 请请把把答答案案填填写写在在答答题题卡卡相相应应位位置置上上 1 已知i为虚数单位 复数 1 1 z i 则z 2 已知集合 01 13AxxBx ax 若AB 中有且只有一个元素 则实数a的值为 3 已知一组数据1 6 1 8 2 2 2 2 4 则该组数据的方差是 4 在平面直角坐标系xOy中 已知双曲线 22 2 1 0 4 xy a a 的一条渐近 线方程为 2 3 yx 则a 5 甲乙两人下棋 两人下成和棋的概率是 1 2 乙获胜的概率是 1 3 则乙不输的概率是 6 右图是一个算法的流程图 则输出的x的值为 7 直线 1 10laxy 与直线 2 4 30lxay 平行 是 2a 的 条件 填 充 分不必要 必要不充分 充分必要 或 既不充分又不必要 8 已知等差数列 n a的前n项和为 n S 1 9a 95 4 95 SS 则 n a 9 已知点M是曲线 2

2、 2ln3yxxx 上一动点 当曲线在M处的切线斜率取得最小值时 该切 线的方程为 10 已知3cos24sin 44 则sin2 9 1 25 20 0836 26 1 2113 23456 78910nyx 必要 不充 分 11 如图在矩形ABCD中 E为边AD的中点 2 1 BCAB分别以DA 为圆心 1为半径作圆弧EB EC 将两圆弧EB EC及边BC所围成的平面图形 阴影部分 绕直线AD旋转一周 所形成的几何体的体积为 23 42 131 33 V 解 12 在ABC 中 1 ABACBC 若角A的最大值为 6 则实数 的值是 2 22 1 cos0 123 cos 3 112 ABACABACcbbcA bc A cb 解 13 若函数 01 x f xaaa 且在定义域 m n上的值域是 22 1 m nmn 则a的取值范围是 0 0 2 2 00 2 22 00 0 00 1 1 ln2 x x x ee x f xayx yayxx ax aeae aax 解 由题意知 与的图像在上恰有两个交点 考察临界情形 与切于 14 如图 在ABC 中 4 ABD 是AB的中点

3、 E在边AC上 2 AEEC CD 与BE 交于点O 若2 OBOC 则ABC 面积的最大值为 3 2222 31 12 222 222 2 428 2 ABCBOD COCDCACBCECB B O EOCDOBOD BODBDOBODOr SSBD r 解 设 共线为中点 在 中 易知 的轨迹为阿圆 其半径 故 二二 解解答答题题 本本大大题题共共6小小题题 共共计计90分分 请请在在答答题题卡卡指指定定区区域域 内内作作答答 解解答答时时应应写写出出文文字字说说明明 证证明明过过程程或或演演算算 步步骤骤 15 本小题满分 14 分 在ABC 中 角 A B C所对应的边分别是 a b c 且满足cos3 sin0bAaB 1 求A 2 已知2 3 3 aB 求ABC 的面积 22 1sincos3sinsin0 sinsin sin0cos3sin cos0sin0sincos1cos0 3 tan 36 sin 26 sin ab BAAB AB BABCBAA AAAAA AAABCA aB bCA A 解 由正弦定理 得 为 内角 故 所以 若 则 与矛盾 故 因此 又

4、为 内角 所以 由正弦定理得 2 1 6 3 2 B Sab 故 3 16 本小题满分 14 分 如图 在四棱锥PABCD 中 四边形ABCD为平行四边形 BDDCPCD 为正三角形 平面PCD 平面ABCD E为 PC的中点 1 证明 AP 平面EBD 2 证明 BEPC 1 2 ACBDOOE ABCD OACEPC APOEAPEBDOEEBD APEBD PCDEPC PCDE PCDABCD P 证 连结交于点 连结 因为四边形为平行四边形 所以 为中点 又 为中点 故 又平面 平面 所以 平面 因为 为正三角形 为中点 所以 因为平面平面 平面 CDABCDCD BDABCDBDCD BDPCD PCPCDPCBD BDDEDBDBDEDEBDE PCBDE BEBDEBEPC 平面 又平面 所以 平面 又平面 故 又 平面 平面 故平面 又平面 所以 17 本小题满分 14 分 某地为改善旅游环境进行景点改造 如图 将两条平行观光道 1 l和 2 l通过一段抛物线形状的栈道AB连通 道 路不计宽度 1 l和 2 l所在直线的距离为 0 5 百米 对岸堤岸线 3 l平行于观

5、光道且与 2 l相距 1 5 百米 其中A为抛物线的顶点 抛物线的对称轴垂直于 3 l 且交 3 l于M 在堤岸线 3 l上的E F两处建造建 筑物 其中E F到M的距离为 1 百米 且F恰在B的正对岸 即 3 lBF 1 在图 中建立适当的平面直角坐标系 并求栈道 AB 的方程 2 游客 视为点 P 在栈道 AB 的何处时 观测 EF 的视角 EPF 最大 请在 1 的坐标系中 写出观测点 P 的坐标 4 1 2 2 2 3 2 1 1 0 5 2 12 0 1 2 2 2 0 2 21212 tant Alxy Bxpy BpABxyx Pt ttPQlQEPQFPQ EQtPQtFQt EPF 解 以 为原点 为 轴 抛物线的对称轴为 轴建系 由题意知 设抛物线方程为 代入点 得 故方程为 设 作于 记 2 22 242 22 22 22 2 2112 tantan2 2 22 an 1tantan1223 1 2 3 2 2 2 2 22231 tan 3 2 2 2123 2 363 323 2 tt t tt ttt t txtx xx EPF xxxx x x xxtt

6、x 令 则 当且仅当即 即 即时取等 31 23 31 23 PEPF PEPF 故时 视角最大 答 时 视角最大 18 本小题满分 16 分 如图 在平面直角坐标系xOy中 已知椭圆C 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的离心率为 2 1 且经过点 1 2 3 A B 分别为椭圆 C 的左 右顶点 过左焦点 F 的直线 l 交椭圆 C 于 D E 两点 其中 D 在 x 轴上方 1 求椭圆 C 的标准方程 2 若AEF 与BDF 的面积之比为 1 7 求直线 l 的方程 5 2 22 22 2222 112221 1 1 12 2 2 19 1 4 4 1231 43 11 2 21 1 0 1 0 1 37 2 7 1 3 2 BDF AEF a ab xy cbacbC cc a FlxmyD x yE xyyy ac y Sy yy Sy acy 解 设焦距为 由题意知 由 知 设 22 22 212 2 2 1 2 2 12 2 21 22 2 2 222 1 34 690 3412 6 361 34 144 1 934 34 921 00 2 34 2 34 1

7、899 4 34 34 xmy mymy xy m yy mm m my m y y m mm yym mm m m mm 由 得 代入 得 164 0 93 33 44 mm lyx 又 故 因此 直线 的方程为 6 19 本小题满分 16 分 已知函数xmmxxxf 223 3 2 R m 的导函数为 x f 1 若函数 xfxfxg 存在极值 求m的取值范围 2 设函数 ln e xffxh x 其中 e 为自然对数的底数 对任意R m 若关于 x 的不等式 22 kmxh 在 0 上恒成立 求正整数k的取值集合 解 1 因为 322 2 3 fxxmxm x 所以 22 22fxxmxm 所以 3222 2 22 3 g xfxfxxmxmm xm 则 22 2222gxxmxmm 由题意可知 2 2 42820mmm 解得 2 2m 2 由 1 可知 22 22fxxmxm 所以 2 22 2e2 e2 ln2ln2 xx h xmxmxm 因为 2 2222 2e2 e2 ln2ln2 xx h xmxmxmmk 整理得 2 222 2 eln2e2 ln0 xx mx m

8、xk 设 eln x H xx 则 1 e0 x Hx x 所以 H x单调递增 又因为 1 1e ee1 m m Hmm 且 1 1e ee1 eee eee m m mm m Hmm 所以存在 1 e e1 e e m mm x 使得 eln x H xxm 设 2 222 2 eln2e2 ln xx F mmx mxk 则 2 2 min elneln xx F mFxxk 设 eln x G xx 则 1 exGx x 2 1 e0 x Gx x 所以 Gx单调递增 因为 1 e20 1e 1 0 2 GG 所以存在 0 1 1 2 x 使得 0 0Gx 即 0 0 1 ex x 7 且当 0 0 xx 时 0Gx 当 0 xx 时 0Gx 所以 G x在 0 0 x上单调递减 在 0 x 上单调递增 所以 00 000 min 00 11 elneln xx G xG xxx xx 因为 0 1 1 2 x 所以 00 0 15 2 2 G xx x 又由题意可知 2 2 0G xk 所以 22 22 0 min 0G xkG xk 解得 0 kG x 所以正整数k的取值集

9、合为 1 2 20 本小满分 16 分 已知数列 n a n b 数列 n c满足 N n nb na c n n n 为偶数 为奇数 1 若nan n n b2 求数列 n c的前n2项和 n T2 2 若数列 n a为等差数列 且对任意 N n nn cc 1 恒成立 当数列 n b为等差数列时 求证 数列 n a n b的公差相等 数列 n b能否为等比数列 若能 请写出所有满足条件的数列 n b 若不能 请说明理由 解 1 因为 2n nn an b 所以 2 2 2 4 n nn n b aa b 且 1122 1 4cacb 由题意可知 数列 21n c 是以1为首项 2为公差的等差数列 数列 2n c是首项和公比均为4的等比数列 所以 1 2 2 4 1 4 144 2 21 433 n n n n n Tnn 2 设数列 n a的公差为d 数列 n b的公差为 1 d 当n为奇数时 1 1 nn caand 1111nn cbbnd 8 若 1 dd 则当 11 1 adb n dd 时 1111 0 nn ccdd nbda 即 1nn cc 与题意不符 所以 1 d

10、d 当n为偶数时 11 1 nn cbbnd 111nn caand 若 1 dd 则当 111 1 bda n dd 时 11111 0 nn ccddnadb 即 1nn cc 与题意不符 所以 1 dd 综上 1 dd 原命题得证 假设 n b可以为等比数列 设公比为q 因为 1nn cc 所以 21nnn ccc 所以 2 2 2 20 1 n nn n b aadq b 所以当 1 0 1 a n d 且 0 n为奇数时 0 10 10 n aand 所以 0 0 n c 所以当 0 nn 当n为偶数时 0 nn cb 所以 2 2 1 n n b q b 因为当 2 1 4 1log 1 q d n bq 0 nn 且n为偶数时 1 22 21 114 n nnn bbbqbqqd 所以当n为偶数 且 11nnn aba 时 213 nnn baa 即当n为偶数 且 11nnn ccc 时 123nnn ccc 不成立 与题意矛盾 所以数列 n b不能为等比数列 9 2019 年年 2020 学学年年度度苏苏锡锡常常镇镇四四市市高高三三教教学学情情况况调调研研 一一 数数学

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