2020届江苏高考南通学科基地密卷数学试卷含答案（共10份）

1、 江苏高考学科基地密卷 一 第 卷 必做题 共 分 一 填空题 本大题共 小题 每小题 分 共计 分 答案 解析 因为集合 表示正奇数构成的集合 所以 答案 解析 设 则 所以 解得 所以 答案 解析 答案 解析 由 得 答案 解析 由 得 所以 槡 当且仅当 时 等号成立 答案 解析 在各项均为正数的等比数列 中 由 得 所以 从而 答案 解析 双曲线 的渐近线为 一颗正方体骰子先后投掷 次共有 种等可能基本事 件 其中满足 的等可能基本事件包括 故所求概率为 第 题 答案 解析 作出不等式组所表示的可行域 如图中阴影部分所示 则 长度的最大 值为 故以 为直径的圆的最大面积为 答案 解析 槡 槡 槡 槡 解得 答案 解析 结合函数 槡 的图象知 由 得 槡 解得 则 答案 解析 则 且 解得 答案 解析 将 平方 得 即 因为 所以 则 答案 槡 解析 设 则 即 即 所以 又 所以 解得正常数 槡 答案 槡 解析 过 作斜边 的垂线 为垂足 设 则等腰直角三角形 中 即 又 所以 在 上有解 从而 解得 槡 且当 槡 时 槡 所以 的最大值为槡 二 解答题 本大题共 小题 共计

2、分 请在答题卡指定区域 内作答 证明 连结 在三棱柱 中 四边形 为平行四边 形 从而 为平行四边形 对角线的交点 所以 为 的中点 分 又 是 的中点 从而在 中 有 分 又 平面 平面 所以 平面 分 在 中 因为 为 的中点 所以 分 又因为 平面 所以 平面 分 因为 平面 所以平面 平面 分 解 因为 槡 所以 槡 分 因为 所以 槡 分 又 所以 的面积 槡 槡 槡 分 因为 槡 所以 槡 分 由 得 槡 分 即 解得 槡 负值已舍 分 在 中 由余弦定理 得 槡 槡 槡 槡 分 解 设圆锥形容器的半径为 高为 圆锥形容器的体积为 由 得 分 从而 槡 槡 所以 槡 槡 分 答 圆锥形容器的体积为 槡 分 设裁剪的扇形的圆心角为 由 得 且 则 槡 所以 槡 槡 分 令 则 令 得 舍 极大值 所以 当 时 取极大值即最大值 即 槡 时 取最大值 槡 分 答 裁剪的扇形圆心角为 槡 圆锥形容器的体积取最大值 槡 分 解 因为椭圆离心率为槡 所以 槡 因为 槡 在椭圆 上 所以 又 解得 槡 因此所求椭圆方程为 分 设 则 且 设 因为直线 方程为 与椭圆方程联立消去 得 分

3、 因为直线 与椭圆交于点 所以 是上面方程的两根 所以 即 所以 槡 槡 槡 槡 分 类似可求得 从而 槡 因为 槡 所以 槡 槡 槡 分 整理得 因为 所以 槡 故所求点 坐标为 槡 分 解 由 得 所以 因为 所以 因为 所以 或 解得 或 所以 原不等式解集为 分 函数 的定义域是 因为 且 所以令 得 分 当 时 时 递减 时 递减 时 递增 分 当 时 时 递增 时 递减 时 递减 分 综上得 当 时 的减区间为 增区间为 当 时 的减区间为 增区间为 分 因为 对任意 恒成立 显然 且原问题等价于 由 得 在 上递减 在 上递增 即 时 在 上递增 由 得 又 恒成立 所以 即 槡 时 在 上递减 由 恒成立 由 得 槡 槡 所以 无解 即 槡 时 在 上递减 在 上递增 由 得 由 得 解得 所以 适合 综上 的取值范围是 分 解析 在 中 令 得 所以 分 因为 所以 得 分 所以 即 所以 分 不存在正数 使得 对任意 恒成立 理由如下 因为 所以 所以 由 得 所以 分 即 所以 是以 为首项 为公比的等比数列 所以 分 假设存在正数 使得 对任意 恒成立 不妨设

4、此时 则 记 由 的任意性可知 数列 不递增 分 所以 当 时 矛盾 所以不存在正数 使得 对任意 恒成立 分 第 卷 附加题 共 分 解 设矩阵 则 且 分 所以 且 分 解得 所以矩阵 分 由 槡 消去参数 得 槡 由 消去参数 得 分 联立方程组 槡 消 得 槡 解得 槡 槡 所以 槡 槡 所以 槡槡 槡 分 因为 分 故由已知得 当且仅当 时 等号成立 分 解 记 甲 乙两人不同时承担同一项任务 为事件 则 分 的所有可能的取值为 所以 分 解 当 时 即证 假设当 时 成立 则当 时 故命题对 时也成立 由 得 分 由 知 其实部为 其实部为 根据两个复数相等 其实部也相等可得 分 江苏高考学科基地密卷 二 第 卷 必做题 共 分 一 填空题 本大题共 小题 每小题 分 共计 分 答案 解析 略 答案 槡 解析 由 得 所以 槡 槡 答案 解析 按照分层抽样方法 选派陆 海 空三个兵种人数之比为 故应从海军士兵中选派人数为 答案 解析 执行流程图得 故输出 的 的值是 答案 解析 画树状图可得共 种等可能的情形 其中符合条件的有 种 故所求概率为 答案 解析 抛物线 的焦点

5、双曲线 的一条渐近线方程为 由点到直线距 离公式得 答案 解析 设圆柱的底面圆半径为 球的半径为 易知 解得 而 所以圆柱的表面 积为 球的表面积为 故该圆柱表面积与球的表面积之比为 答案 解析 由题意 所以 解得 所以当 时 的最小值为 答案 解析 由题意得 又 所以 所以 答案 解析 易知 为奇函数 且在 上单调递增 由不等式 得 所以 即 在 上有解 而 所以 即 答案 槡 解析 槡 答案 解析 由 三点共线知 可设 同理由 三点共 线知 可设 于是 解得 所以 所以 答案 解析 可知圆 是圆心在直线 槡 上 半径为 的圆 由 知 符合条件的点 的轨迹 为圆心在直线 槡 上 半径为 的圆 当直线 与圆 相切时可得 的最大值和最小值分别为 和 于是实数 的取值范围是 答案 解析 函数 的零点的个数 方程 的根的个数 方程 的根的个数 方程 的根的个数 直线 与函数 的图 象的交点的个数 又可以求得 结合 的图象可知 当 时 直线 与函数 的图象有 个交点 所以函数 的零点个数为 二 解答题 本大题共 小题 共计 分 请在答题卡指定区域 内作答 解 由 为锐角 由 得 槡 分 所以

6、分 所以 分 分 因为 解得 槡 槡 分 所以 槡 槡 槡 分 解 因为 分别为 的中点 所以 分 因为四边形 是平行四边形 所以 所以 分 又因为 平面 平面 所以 平面 分 连结 因为 为 的中点 所以 分 因为 是正三角形 为 的中点 所以 分 又因为 平面 平面 所以 平面 分 又因为 平面 所以 分 解 易知 因为 所以 所以直线 的方程为 分 当 时 直线 的方程为 联立 解得 槡 所以 槡 分 所以四边形 的面积 槡 槡 分 联立 解得 槡 所以 槡 分 因为 是等腰直角三角形 而点 到直线 的距离 即为斜边 上的高 所以 即 槡 槡 槡 槡 分 整理得 槡 即 槡 解得 槡 或 槡 舍 故 的值为槡 分 解 由于 与 和 的乘积成正比 比例系数为 槡 所以 槡 分 由于 与 成正比 比例系数为 所以 分 所以焊接点 承受的应力 槡 分 由于焊接点 承受的应力最大为 所以 槡 对于 恒成立 分 当 时 不等式显然成立 当 则 所以 槡 对于 恒成立 所以 槡 分 设 则 令 则 所以 极小值 所以当 时 槡 分 所以 槡 槡 解得 分 答 在大摆锤安全运行前提下 焊接点

7、与摆臂中心 的最小距离为 米 分 解 设 的公比为 则 由 得 解得 所以数列 的通项公式为 分 当 时 所以 当 时 所以 因为 是等差数列 所以 即 所以 分 此时 是以 为首项 为公差的等差数列 所以 于是 符合题意 故数列 的通项公式为 分 由 知 所以 分 因为 对任意的 恒成立 分 所以数列 满足 因此 不等式 即 所以 对任意的 恒成立 故实数 的取值范围为 分 解 当 时 则 又 所以曲线 在点 处的切线方程为 分 当 时 则 对 恒成立 所以函数 在 上单调增 因此函数 在 上的最大值为 分 由 得 即 由 知 对 恒成立 且当且仅当 时 取 所以 在 上单调增 又 所以 即 所以 所以 则 分 下面证明 槡 即证明 槡 即证明 槡 考虑函数 槡 则 槡 槡 槡 当且仅当 时 取 所以函数 在 上单调减 又 所以 即 槡 因此 槡 故 分 第 卷 附加题 共 分 解 矩阵 的特征多项式为 分 因为矩阵 的一个特征值为 所以方程 有一根为 即 所以 分 所以 所以 所以点 的坐标为 分 解 以极点为坐标原点 极轴所在直线为 轴建立直角坐标系 由 得 则圆 的直角坐标方程

8、是 圆心坐标为 半径 分 由 得 则直线 的直角坐标方程是 槡 分 若直线 通过圆 的圆心 则 所以 分 证法一 因为 槡 槡 所以 槡 槡 槡 分 证法二 要证 槡 槡 槡 即证 槡 槡 槡 即证 槡 即证 槡 由基本不等式易得 分 解 以 为原点 为 正半轴 为 轴正半轴 为 轴正半轴 建立空间直角坐标系 则 所以 设 则 因为 所以 即 得 即 分 由 得 设平面 的一个法向量为 由 即 得 可取 设 与平面 所成角的大小为 则 槡 槡 槡 即 槡 所以 故 与平面 所成角为 分 解 分 分 江苏高考学科基地密卷 三 第 卷 必做题 共 分 一 填空题 本大题共 小题 每小题 分 共计 分 答案 槡 答案 答案 答案 答案 解析 由题知 解得 答案 解析 从 个奇数 个偶数中随机抽取 个数 共有 种可能 其中乘积为偶数的共有 种可能 所以概 率为 答案 槡 解析 因为 所以 所以 所以 槡 槡 槡 答案 解析 由条件 知 所以双曲线的方程为 所以两条渐近线方程为 答案 槡 解析 由圆锥展开图得到的扇形面积为 知 扇形弧长为 则圆锥底面半径为 因此由勾股定理可得 圆锥的高为 所以圆

9、锥的体积为 所以得出球的半径为 槡 答案 槡 解析 建立如图所示的直角坐标系 设 则 槡 槡 由 得 槡 槡 解得 槡 所以 槡 答案 解析 由题知 则 时 所以 即 所以 时 即 答案 解析 原命题 有且只有三个整数解 令 时 单调递增 时 单调递减 且 时 又 则由图象可得 所以 答案 槡 解析 要求 的最大值 考虑 在圆外 若存在 使得 则 即 的轨迹 又 在 上 由图象知 的最大值为槡 答案 槡 解析 由题意 在 中 由正弦定理得 即 所以 即 所以 即 两边除以 得 从而 为锐角 所以 槡 槡 二 解答题 本大题共 小题 共计 分 请在答题卡指定区域 内作答 证 因为 平面 平面 所以 分 因为底面 是矩形 所以 因为 平面 所以 平面 分 因为 平面 所以平面 平面 分 因为底面 是矩形 所以 分 因为 平面 平面 所以 平面 分 因为 平面 平面 平面 所以 分 因为 平面 平面 所以 平面 分 解 在 中 由正弦定理 可得槡 所以槡 分 因为 所以槡 即槡 因为 所以 所以 槡 因为 所以 分 因为 所以 分 因为 所以 令 因为 所以 槡 所以 分 令 所以 在 槡

10、上单调递减 所以 槡 所以 的取值范围为 槡 分 解 连结 可得等腰三角形 所以 因为 为 的角平分线 所以 又 所以 所以 分 在 中 所以 即 分 由 令 所以当 时 槡 答 当 时 四边形 面积最大 且最大面积为 槡 平方米 分 解 当直线 平行于 轴时 槡 槡 由 三点共线 得 即 槡 所以 槡 又 槡 槡 槡 且 所以 槡 槡 所以椭圆 的方程为 分 方法一 当直线 平行于 轴时 由 得 槡 槡 所以 又 所以 故 又 所以 槡 分 当直线 不平行于 轴时 下面证明当 槡 时 总有 事实上 由 知 椭圆方程可化为 即 设直线 的方程为 由 得 所以 又 所以 所以 综上 当椭圆 的离心率为槡 时 对任意的动直线 总有 分 方法二 设直线 的方程为 由 得 所以 当 时 则 所以 所以 又 所以 故 又 所以 槡 综上 当椭圆 的离心率为槡 时 对任意的动直线 总有 分 解 当 时 所以 令 得 列表如下 所以函数 的极小值为 无极大值 分 令 即 解得 槡 槡 故 其中 若 即 时 恒成立 所以 在 上单调递增 若 即 时 当 时 当 时 所以 在 上单调递减 在 上单调递增

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