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江苏高考数学一轮复习《导数在研究函数中的应用(2)》 教程学案

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  • 文档编号:127767988
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    • 1、_第21课_导数在研究函数中的应用(2)_1. 理解导数的意义,熟练运用导数求解函数的单调区间、极值、最值2. 应用导数解决一些综合问题,如恒成立及含参数问题等.1. 阅读:选修11第8692页2. 解悟:要清楚导数与函数的关系,利用导数研究函数性质的流程要熟练,主要步骤为求导,令导数等于0,求根,列表,下结论3. 本章中对函数的重要思想方法,比如数形结合、函数与方程、分类讨论得到了又一次的加强,同学们在复习的过程中要注意加强体会.基础诊断1. 对任意xR,函数f(x)x3ax27ax不存在极值的充要条件是_0a21_解析:由题意得,f(x)3x22ax7a.因为对xR,函数f(x)x3ax27ax不存在极值,且f(x)的图象开口向上,所以f(x)0对xR恒成立,所以4a284a0,解得0a21,故所求的充要条件是0a21.2. 已知函数f(x)x33ax2bxa2在x1处有极值0,则ab_7_解析:由题意得,f(x)3x26axb.因为函数f(x)在x1处有极值0,所以即解得或当a1,b3时,f(x)3x26x33(x1)20,所以函数f(x)不存在极值应舍去,所以ab7.3. 若函

      2、数f(x)alnxx在区间(1,2)上单调递增,则实数a的取值范围是_2,)_解析:由题意得,f(x)1.因为函数f(x)alnxx在区间(1,2)上单调递增,所以10在x(1,2)上恒成立,所以ax,所以a2,故实数a的取值范围是2,)4. 已知函数f(x)x2cosx,x,则满足f(x0)f的x0取值范围为_解析:因为函数f(x)x2cosx是偶函数,所以只需考虑区间上的情形,当x时,f(x)2xsinx0,所以函数f(x)在区间上单调递增,所以f(x0)f在上的解集为.结合函数f(x)是偶函数,图象关于y轴对称,所以当x时,x0,所以x0的取值范围是.范例导航考向 利用导数求解函数的零点或方程的根的问题例1已知函数f(x)2lnxx2ax,若函数g(x)f(x)axm在区间上有两个零点,求实数m的取值范围解析:由题意得,g(x)2lnxx2m,则g(x)2x.因为x,故当g(x)0时,x1,当x0;当1xe时,g(x)0,故g(x)在x1处取得极大值g(1)m1.又gm2,g(e)m2e2,g(e)g4e20,即g(e)g,所以函数g(x)在区间有两个零点的条件是解得1m2,所以

      3、实数m的取值范围为.已知函数f(x)lnxx22x,则函数yf(x)的零点个数为_1_解析:由题意得f(x)x20,所以函数f(x)在(0,)上单调递增因为f(1)0,所以函数yf(x)的零点个数为1.考向 利用导数求解不等式的恒成立(存在性)问题例2已知函数f(x)lnx1.(1) 求函数f(x)的单调区间;(2) 设mR,对任意的a(1,1),总存在x01,e,使得不等式maf(x0)0.令f(x)0,得x1,所以函数f(x)的单调递增区间是(1,);令f(x)0,得0x1,所以函数f(x)的单调递减区间是(0,1)(2) 依题意得,maf(x0),由(1) 知,f(x)在x1,e上是增函数,所以f(x)maxf(e)lne1,所以ma,即ma0对于任意的a(1,1)恒成立,所以解得m,所以实数m的取值范围是.设函数f(x)kx33x1(xR),若对于任意x1,1,都有f(x)0成立,则实数k的值为_4_解析:由题意得,f(x)3kx23.当k0时,3kx230时,令f(x)3kx230,解得x.当x0,所以函数f(x)在区间上单调递增;当x时,f(x)时,f(x)0,故函数f(x

      4、)在区间上单调递增,所以即解得所以k4.考向 利用导数求解不等式的有关问题例3设函数f(x)ax2alnx,g(x),其中aR,e2.718 28为自然对数的底数(1) 讨论函数f(x)的单调性;(2) 证明:当x1时,g(x)0.解析:(1) 由题意得,f(x)2ax(x0),设h(x)2ax21.当a0时,h(x)0,所以f(x)0时,令h(x)0,得x1,x2(舍去),所以函数f(x)的单调减区间为,单调增区间为.综上,当a0时,函数f(x)在区间(0,)上单调递减;当a0时,函数f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增(2) 要证当x1时,g(x)0,即证当x1时,e.设t(x)(x1),则t(x).令t(x)0,得x1,所以t(x)在区间(1,)上单调递增,所以t(x)mint(1)e,所以当x1时,t(x)e成立,所以当x1时,g(x)0成立自测反馈1. 若函数f(x)x2exax在R上存在单调增区间,则实数a的取值范围是_(,2ln22)_解析:由题意得,f(x)2xexa.因为函数f(x)在R上存在单调增区间,所以f(x)2xexa0,即a0,即2ex0,解得xln2;令g(x)0,即2exln2,所以g(x)maxg(ln2)2ln22,所以a0,且a0,解得a3且a0.故实数a的取值范围是(3,0)(0,)3. 已知函数f(x)2f(1)lnxx,则函数f(x)的极大值为_2ln22_解析:由题意得,f(x)1(x0),则f(1)1,解得f(1)1,所以f(x)1(x0)令f(x)0,解得0x2,令f(x)2,所以函数f(x)在区间(0,2)上单调递增,在区间(2,)上单调递减,故函数f(x)的极大值为f(2)2ln22.4. 若函数f(x)x312x在区间(k1,k1)上不是单调函数,则实数k的取值范围是_(3,1)(1,3)_解析:由题意得,f(x)3x212.令f(x)0,即3x2120,解得x2.因为函数f(x)在区间(k1,k1)上不单调,所以k12k1或k12k1,解得3k1或1k3.故实数k的取值范围是(3,1)(1,3)1. 有关导数在函数中的应用主要类型有:求函数的切线,判断函数的单调性,求函数的极值和最值2. 利用函数的单调性证明不等式,求参数的取值范围,对这些问题,要有解题规律的总结和反思3. 你还有哪些体悟,写下来:7

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