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1、2 0 1 9年全国高三统一联合考试 文科数学 参考答案及解析 2 0 1 9年全国高三统一联合考试 文科数学 一 选择题 1 B 解析 由 x 2 2 x 即x2 4 得x 2 则A 2 2 由6 3x 0 解得x 2 则B x x3 8 4 1 所以有9 5 以上的把握认为大学生喜欢自主创业与性格外向有关 故选D 4 D 解析 选项A 由条件得a 或a 所以错误 选项B 由条件得a b或a b异面 所以错误 选项C 由条件得a b的位置关系平行 相交 异面都有可能 所 以错误 选项D 是线面垂直的性质定理 故选D 5 C 解析 由定义得 P F1 P F2 2a 又 P F1 3 P F2 所以 P F2 a 2 P F1 3 a 2 因为线段P F1 的中点在y轴上 O为F1F2的中点 由三角形中位线平 行于 底 边 得 P F2F1 9 0 所 以 a 2 2 2c 2 3a 2 2 所以a 2c 所以e 2 2 故选C 6 B 解析 因 为 点O为 AB C的 重 心 设 点D为 边AC的 中 点 所 以B O 2 3BD 2 3 AD AB 2 3 1 2b a 2 3a

2、1 3b 故选B 7 C 解析 由函数f x x 2 a x 1 1 x 为奇函数 可得a 0 所 以f x x 2 1 x x 1 x x 0 f 1 2 5 2 所以切点坐标为 1 2 5 2 由 f x 1 1 x 2 得切线的斜率k f 1 2 3 所以所求切线方 程为y 5 2 3x 1 2 即y 3x 4 故选C 8 C 解析 由题图知 函数f x 的周期T 21 1 1 2 7 1 2 2 3 所以2 2 3 3 把 7 1 2 0 代入f x As i n x 得As i n3 7 1 2 0 所以s i n 7 4 0 所以 7 4 k k Z 又0 所以 4 故选C 9 D 解析 由三视图知 圆柱的底面半径为2 高为5 挖去部分为底面是矩形的直棱柱 因此 当棱柱的底面 为正方形时 挖去部分的体积最大 此时正方形的边长 为2 2 所以挖去的几何体的最大体积是2 2 2 2 5 4 0 故选D 1 0 A 解析 不妨令a 1 则s i n 3 5 c o s 4 5 所以 1 2s i n2 c o s2 1 s i n c o s 2 c o s 2 3 5 4 5

3、2 4 5 2 4 5 故选A 1 1 B 解析 f x x c o sx 3 3 s i nx 3 x 2 c o sx f x 1 2 s i nx 令 f x 0 得s i nx 1 2 因为x 0 2 所以x 6 而f 6 6 2 c o s 6 6 3 f 0 2 f 2 2 所以f x 的最小值为 2 最大值为 6 3 故选B 1 2 A 解析 由g x f x 1 0 得 f x 1 即函数y f x 与y 1的图像的交点有4个 由 x 2 6 x 6 1 得x 1或x 5或x 3 2或x 3 2 由 1 2 x 1 1 得x 1 画出函数y f x 与y 1的图像 由图像分析得a 1或10 所以Tn n 2 1 2分 1 8 1 证明 在直三棱柱A B C A1B1C1中 因为 A B C为直角 所以A B B C 又平面B C C1B1 平面A B C B C 所以A B 平面B C C1B1 因为B1D 平面B C C1B1 所以A B B1D 2分 在矩形B C C1B1中 因为D为C C1的中点 B C 2 C C1 4 所以B D2 B1D2 B B21 所以

4、B1D B D 又因为A B B D 平面A B D A B B D B 所以B1D 平面A B D 4分 又因为B1D 平面A1B1D 所以平面A1B1D 平面A B D 6分 2 解 在直三棱柱A B C A1B1C1中 因为A1B1 A B 所以 B A C就是异面直线A1B1与A C所成的角或其 补角 因为 A B C为直角 B C 2 异面直线A1B1与A C所 成的角的正弦值是2 1 3 1 3 所以A B 3 8分 在直三棱柱A B C A1B1C1中 点D到 平 面A B B1A1的 距 离 等 于 点C到 平 面 A B B1A1的距离 1 0分 则VB A 1A D VD A B A1 1 3 1 2 3 4 2 4 所以三棱 锥B A1AD的体积为4 1 2分 1 9 解 1 样本的频率分布表如下 视力范围 4 0 4 3 4 3 4 6 4 6 4 9 4 9 5 2 频数 2378 频率 0 10 1 50 3 50 4 3分 频率分布直方图如图 6分 2 这2 0人中正常视力的学生有8人 设从这8人中随 机抽取2人且都符合视力要求为事件A 符合视力要 求的4

5、人编号为1 2 3 4 其他4人为a b c d 则从 正常视力的学生8人中随机抽取2人的基本事件为 1 2 1 3 1 4 1a 1b 1c 1d 2 3 2 4 2a 2b 2c 2d 3 4 3a 3b 3c 3d 4a 4b 4c 4d a b a c a d b c b d c d 共 2 8个 事件A包含的基本事件的个数为6 1 0分 根据古典概型得P A 6 2 8 3 1 4 2 2 0 1 9年全国高三统一联合考试 文科数学 所以这2人都符合视力要求的概率为 3 1 4 1 2分 2 0 1 证明 方法一 根据线段A B的中点在x 1 y 0 上 可设A x1 y1 B x2 y2 A B的中点坐标为 1 t t 0 则斜率为k的直线l的方程为y t k x 1 k 0 与抛物线方程联立 即 y k x t k y 2 4 x 消去x得k 4y 2 y t k 0 2分 因为直线l与抛物线有两个不同交点 所以 1 4 k 4 t k 1 k t k 2 0 y1 y2 4 k 又线段A B的中点为 1 t 所以x1 x2 2 y1 y2 2t 4分 所以2t 4 k

6、t 2 k 因为t 0 所以k 0 将t 2 k 代入1 k t k 2 0 得k2 1 所以k 1 6分 方法二 同方法一得t 2 k 因为线段A B的中点坐标为 1 t t 0 在抛物线内 则0 t 2 所以0 2 k 1 方法三 用点差法 根据线段A B的中点在x 1 y 0 上 可设中点坐标 为 1 t t 0 点A x1 y1 B x2 y2 则 y 2 1 4x1 y 2 2 4x2 得 y2 y1 y2 y1 4 x2 x1 则y 2 y1 x2 x1 4 y2 y1 由题意 x1 x2 y1 y2 0 又线段A B的中点为 1 t 则x1 x2 2 y1 y2 2t 所以k 2 t 即t 2 k 因为线段A B的中点 1 t t 0 在抛物线内 则0 t 2 所以0 2 k 1 经检验 直线与 抛 物 线 相 交 所 以k的 取 值 范 围 是 k k 1 6分 2 解 联立 y 2 4 x x 2 4 y 2 3 1 可得抛物线与椭圆在y轴右 侧的交点坐标为 2 3 2 6 3 2 3 2 6 3 根据图像 可知曲线M关于x轴对称 设C x3 y3 D x3 y3 不

7、妨设y3 0 则 O C D的面积S x3y3 7分 设O C所在的直线方程为y k x k 0 按点C的位 置分两种情况 当C x3 y3 在抛物线弧y 2 4 x0 x 2 3 上时 联立 y k x k 6 y 2 4 x0 x 2 3 得C 4 k 2 4 k 故 O C D的面积S x3y3 1 6 k 3 k 6 所以0 S 4 6 9 9分 当C x3 y3 在椭圆弧 x 2 4 y 2 3 1 2 3 x 2 上时 联 立 y k x 0 k 6 x 2 4 y 2 3 1 2 3 x 2 得x3 2 3 4k 2 3 y3 2 3k 4k 2 3 故S x3y3 1 2k 4k 2 3 1 2 4k 3 k 0 k0 所以函数y f x 在区间 0 内单调递增 结合 f 2 0 得当x 0 2 时 f x 0 故f x 的单调递减区间为 0 2 单 调递 增区 间 为 2 4分 2 证明 f x e x a x 令 x e x a x 则当e a 0 3 文科数学 参考答案及解析 即函数y f x 在区间 0 内单调递增 因为e a 2 e 2 所以 f 1 e ae

8、 2 e2 0 6分 所以 m 1 2 使得 f m 0 当x 0 m 时 f x 0 f x 单调递增 所以f x m i n f m e m a l nm e 2 由e ae m 2 e2 l nm e 2 9分 下面证h m e m 2 e2 l nm e 2在区间 1 2 内大于0 h m e m 2 e 2 m 令t m e m 2 e 2 m 则t m e m 2 e 2 m2 0 所以函数y h m 在区间 1 2 内单调递增 h m h 2 e 2 2 e2 l n2 e 2 2 e2 1 l n2 0 所以f x 0 1 2分 2 2 解 1 已知直线l的参数方程为 c o s s i n 4 0 将 c o s x s i n y 代入直线l的参数方程 得 x y 4 0 所以直线l的直角坐标方程为x y 4 0 2分 已知曲线C的方程为 x 1 2 y 1 2 1 将 2 x2 y2 c o s x s i n y代入上式 得曲线C的极坐标方程为 2 2 c o s 2 s i n 1 0 5分 2 方法一 设曲线C上的点P 1 c o s 1 s i n 则点P到直线l的距离d 1 c o s 1 s i n 4 2 s i n c o s 2 2 s i n 4 2 当s i n 4 1时 dm i n 2 1 所以曲线C上的点到直线l的距离的最小值为2 1 1 0分 方法二 因为曲线C的圆心 1 1 到直线l x y 4 0的距离d 1 1 4 2 2 1 r 则直线l与曲线C相离 所以曲线C上的点到直线l 的距离的最小值等于d减去半径长 即曲线C上的点到直线l的距离的最小值为2 1 1 0分 2 3 解 1 f x 6即 2x a 6 所以 6 2x a 6 a 6 2x a 6 又不等式f x 6的解集为 x 2 x 4 所以 a 6 4 a 6 8 解得a 2 5分 2 当a 2时 f x f 1 2x 3 2 x 2 x 4 3x 2 x 4 x 6 4 x 1 3x 2 x 1 而2m2 4m 1 1 9 故需解不等式f x f 1 2x 3 9 可求得x的取值范围为x 3 x 7 3 1 0分 4

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