高等数学(同济大学版)_课程讲解_1.1映射与函数
17页1、 . 课时授课计划课次序号: 01 一、课题:1.1 映射与函数二、课型:新授课三、目的要求:1.了解集合与映射的有关概念;2.理解函数的概念,了解函数的四种特性;3.理解复合函数的概念,了解反函数的概念;4.熟悉基本初等函数的性质及其图形;5.会建立简单实际问题的函数关系式四、教学重点:函数的概念,函数的各种性态.教学难点:反函数、复合函数、分段函数的理解.五、教学方法及手段:启发式教学,传统教学与多媒体教学相结合六、参考资料:1.高等数学释疑解难,工科数学课程教学指导委员会编,高等教育出版社;2.高等数学教与学参考,张宏志主编,西北工业大学出版社七、作业:习题11 3(1),6(4)(7),9(1)八、授课记录:授课日期班次九、授课效果分析:第一章 函数与极限第一节 映射与函数高等数学研究的主要对象是函数. 为了准确而深刻地理解函数概念,集合与映射的知识是不可缺少的. 本节将简要复习回顾集合、映射的一些基本概念,在此基础上重点介绍函数概念与相关知识.一、集合1. 集合的概念集合是数学中的一个最基本的概念一般地,我们将具有某种确定性质的事物的全体叫做一个集合,简称集组成集合的事物称为
2、该集合的元素例如,某大学一年级学生的全体组成一个集合,其中的每一个学生为该集合的一个元素;自然数的全体组成自然数集合,每个自然数是它的元素,等等通常我们用大写的英文字母A,B,C,表示集合;用小写的英文字母a,b,c,表示集合的元素若a是集合A的元素,则称a属于A,记作aA;否则称a不属于A,记作aA(或aA)含有有限个元素的集合称为有限集;不含任何元素的集合称为空集,用表示;不是有限集也不是空集的集合称为无限集例如,某大学一年级学生的全体组成的集合是有限集;全体实数组成的集合是无限集;方程+1=0的实根组成的集合是空集集合的表示方法:一种是列举法,即将集合的元素一一列举出来,写在一个花括号内例如,所有正整数组成的集合可以表示为N=1,2,n,另一种表示方法是指明集合元素所具有的性质,即将具有性质p(x)的元素x所组成的集合A记作A =xx具有性质p(x)例如,正整数集N也可表示成N=nn =1,2,3,;又如 A=(x,y)+ =1,x,y为实数表示xOy平面单位圆周上点的集合2. 集合的运算设A,B是两个集合,若A的每个元素都是B的元素,则称A是B的子集,记作A B(或B A);若
3、A B,且有元素ab,但a A,则说A是B的真子集,记作A B对任何集A,规定A若A B,且BA,则称集A与B相等,记作A=B由属于A或属于B的所有元素组成的集称为A与B的并集,记作AB,即AB=xxA或xB由同时属于A与B的元素组成的集称为A与B的交集,记作AB,即AB=xxA且xB由属于A但不属于B的元素组成的集称为A与B的差集,记作AB,即AB=xxA但x B如图1-1所示阴影部分图1-1在研究某个问题时,如果所考虑的一切集都是某个集X的子集,则称X为基本集或全集X中的任何集A关于X的差集XA称为A的补集(或余集),记作 集合的交、并、余的运算满足下列运算法则:设A,B,C为三个任意集合,则下列法则成立:(1)交换律AB=BA,AB=BA;(2)结合律(AB)C=A(BC),(AB)C=A(BC);(3)分配律(AB)C=(AC)(BC),(AB)C=(AC)(BC),(AB)C=(AC)(BC);(4)幂等律AA=A,AA=A;(5)吸收律A=A,A=设Ai(i=1,2,)为一列集合,则下列法则成立:(1)若AiC(i=1,2,),则C;(2)若AiC(i=1,2,),则C设X
4、为基本集,Ai(i=1,2,)为一列集合,则= , = 3. 区间与邻域(1) 区间设a和b都是实数,将满足不等式axb的所有实数组成的数集称为开区间,记作(a,b)即(a,b)=xaxb,a和b称为开区间(a,b)的端点,这里a (a,b)且b (a,b)类似地,称数集a,b=xaxb为闭区间,a和b也称为闭区间a,b的端点,这里aa,b且ba,b称数集a,b)=xaxb和(a,b=xaxb为半开半闭区间以上这些区间都称为有限区间 数ba称为区间的长度 此外还有无限区间:(-,+)=x-x+=R,(-,b=x-xb,(-,b)=x-xb,a,+)=xax+,(a,+)=xax+,等等这里记号“-”与“+”分别表示“负无穷大”与“正无穷大”(2) 邻域设x0是一个给定的实数,是某一正数,称数集 xx0-xx0+为点x0的邻域,记作U(x0,)称点x0为这邻域的中心,为这邻域的半径(如图1-2)图1-2称U(x0,)-x0为x0的去心邻域,记作(x0,)=x0x-x0,记( x0-,)=xx0-xx0, (x0+,)=xx0xx0+,它们分别称为x0的去心左邻域和去心右邻域当不需要指出邻
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