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数学物理方法第7章完整版本.ppt

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1、 7 2 3傅里叶变换式的物理意义频谱傅氏变换和频谱概念有着非常密切的联系频谱这个术语来自于光学通过对频谱的分析可以了解周期函数和非周期函数的一些基本性质若已知是以为周期的周期函数且满足狄利克雷条件则可展成傅里叶级数 7 2 16 其中我们将称为的第次谐波称为第次谐波的频率由于其中称为初相称为第次谐波的振幅记为即 7 2 17 若将傅里叶级数表示为复数形式即 7 2 18 其中恰好是次谐波的振幅的一半我们称为复振幅显然次谐波的振幅与复振幅有下列关系 7 2 19 当取这些数值时相应有不同的频率和不同的振幅所以式 7 2 19 描述了各次谐波的振幅随频率变化的分布情况频谱图通常是指频率和振幅的关系图称为函数的振幅频谱简称频谱若用横坐标表示频率纵坐标表示振幅把点用图形表示出来这样的图形就是频谱图由于所以频谱不连续的称之为离散频谱的图形是 7 3傅里叶变换定义 7 3 1傅里叶变换的定义由上一节对实数和复数形式的傅里叶积分的讨论最后我们以简洁的复数形式即指数形式作为傅里叶变换的定义

2、定义7 3 1傅里叶变换若满足傅氏积分定理条件称表达式 7 3 1 为的傅里叶变换式记作我们称函数为的傅里叶变换简称傅氏变换或称为像函数定义7 3 2傅里叶逆变换如果 7 3 2 则上式为的傅里叶逆变换式记为我们称为或称为像原函数或原函数的傅里叶逆变换简称傅氏逆变换由 7 3 1 和 7 3 2 知傅里叶变换和傅里叶逆变换是互逆变换即有 7 3 3 或者简写为 7 3 2多维傅氏变换在多维维情况下完全可以类似地定义函数的傅氏变换如下它的逆变换公式为三维情况下用矢量表示傅氏变换 7 3 3傅里叶变换的三种定义式其中在实际应用中傅里叶变换常常采用如下三种形式由于它们采用不同的定义式往往给出不同的结果为了便于相互转换特给出如下关系式第一种定义式 2 第二种定义式 3 第三种定义式三者之间的关系为三种定义可统一用下述变换对形式描述特别说明不同书籍可能采用了不同的傅氏变换对定义所以在傅氏变换的运算和推导中可能会相差一个常数倍数比如读者应能理解本书采用的傅氏变换对是大量书籍中常采用的统一定义若未特殊申明

3、均使用的是第二种定义式例求矩形脉冲的复数数形式的付氏变换解例求单锯齿波f t 的复数数形式的付氏变换解例求f x e a x 的复数数形式的付氏变换 a 0 解因此得到故 7 3 4广义傅里叶变换前面我们定义的傅氏变换要求满足狄利克雷条件那么对一些很简单很常用的函数例如单位阶跃函数正余弦函数等都无法确定其傅氏变换这无疑限制了傅氏变换的应用所以我们引入广义傅氏变换概念系指函数及其相关函数的傅氏变换在后面我们将看到函数的傅氏变换在求解数理方程中有着特殊的作用这里先介绍其有关基本定义和性质 1 函数定义定义7 3 3 函数如果一个函数满足下列条件则称之为函数并记为 7 3 4 且 7 3 5 函数的付氏变换我们不加证明地指出与定义7 3 3等价的函数的另一定义定义7 3 4 函数如果对于任意一个在区间上连续的函数恒有则称满足上式中的函数为函数对于任意的连续可微函数定义函数的导数为 7 3 6 根据上式显然有 7 3 7 由函数定义7 3 4有 7 3 8 2 函数性质性质1对于的实常数有 7 3 9 性质2

4、设则当时即对应为故为偶函数傅里叶变换的基本性质傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系在实际信号分析中经常需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质并说明其应用 1 线性性质傅里叶变换是一种线性运算若则其中a和b均为常数 2 对称性若则可见傅里叶变换之间存在着对称关系即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系其幅度之比为常数式中的表示频谱函数坐标轴必须正负对调例如 2 延迟性表明若在时域平移时间t0 则其频谱函数的振幅并不改变但其相位却将改变 t0 若则 3 频移性频移性说明若信号乘以e j 0t 相当于信号所分解的每一指数分量都乘以e 0t 这就使频谱中的每条谱线都必须平移 0 亦即整个频谱相应地搬移了 0位置若则频谱搬移技术在通信系统得到了广泛应用诸如调幅同步解调变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成的频谱搬移实现原理是将信号f t 乘以所谓载频信号cos 0t或sin 0t 即原函数导数的Fourier变换如果f x 满足Fourier积分定理的条件设F f x F 则F f x i F f x i F 可以证明F f n x i nF 像函数导数的Fourier反演设F 1 F f x 则F 1 F ix f x 可以证明F 1 F n ix nf x 有F xf x iF F xnf x inF n 原函数积分的Fourier变换如果f x 满足Fourier积分定理的条件设F f x F 则原函数导数的Fourier变换和原函数积分的Fourier变换使得导数和积分的运算在空间变成简单的代数运算卷积卷积的可交换性卷积定理原函数的卷积与像函数的乘积间的关系若和则证明卷积即F 1 F1 F2 f1 x f2 x 像函数的卷积定理F 1 F1 F2 2 f1 x f2 x F f1 x f2 x F1 F2 2 此课件下载可自行编辑修改供参考部分内容来源于网络如有侵权请与我联系删除

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