高中数学苏教版必修5学案：2.2.3 等差数列的前n项和（二）
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1、2.2.3等差数列的前n项和(二)学习目标1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质.2.掌握等差数列前n项和的最值问题.3.理解an与Sn的关系，能根据Sn求an.知识点一等差数列前n项和及其最值1.前n项和公式：Snna1dn2(a1)n.2.等差数列前n项和的最值(1)在等差数列an中，当a10，d0时，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定；当a10，d0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定.(2)因为Snn2n，若d0，则从二次函数的角度看：当d0时，Sn有最小值；当d0时，Sn有最大值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值.知识点二数列中an与Sn的关系对任意数列an，Sn与an的关系可以表示为an思考若Snn2n，则an.答案2n解析n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n，当n1时，a1S1121221，an2n.题型一已知Sn求an例1已知数列an的前n项和为Sn，若Sn2n23n，试判断数列an是不是等差数列.解Sn2n23n，当n2时，anSnSn12n23n2(n1)23(n1)4n1.当
2、n1时，a1S15411.n1时，适合an4n1.数列的通项公式是an4n1.故数列an是等差数列.反思与感悟(1)an与Sn的关系：an当n1适合于an时，则a1可以统一到an(n2，nN*)的形式中，而不用写成分段函数形式.若n1不适合an，则通项公式应写成分段函数形式.(2)等差数列an中，若d0，则Sn可写成关于n的二次函数形式，反之，若SnAn2Bn，那么数列an一定是等差数列.跟踪训练1例1中，若Sn2n23n1，试判断该数列是不是等差数列.解Sn2n23n1.n2时，anSnSn12n23n12(n1)23(n1)14n1.当n1时，a1S16411.an故数列an不是等差数列.题型二等差数列前n项和的最值问题例2在等差数列an中，若a125，且S9S17，求Sn的最大值.解方法一S9S17，a125，925d1725d，解得d2.Sn25n(2)n226n(n13)2169.当n13时，Sn有最大值169.方法二同方法一，求出公差d2.an25(n1)(2)2n27.a1250，由得又nN*，当n13时，Sn有最大值169.方法三S9S17，a10a11a170.由等差
3、数列的性质得a13a140.a10，d0，a140，d0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和.若a10，则Sn存在最小值，即所有非正项之和.(2)求等差数列前n项和Sn最值的方法：寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用或来寻找.运用二次函数求最值的方法.跟踪训练2已知等差数列an中，a19，a4a70.(1)求数列an的通项公式；(2)当n为何值时，数列an的前n项和取得最大值？解(1)由a19，a4a70，得a13da16d0，解得d2，ana1(n1)d112n.(2)方法一a19，d2，Sn9n(2)n210n(n5)225，当n5时，Sn取得最大值.方法二由(1)知a19，d20，n6时，an0；当n35时，anS7S5，有下列四个命题：d0；S12S7，a7S5，a6a70，a60，d0，正确.S12(a1a12)6(a6a7)0，不正确.Sn中最大项为S6，不正确.故正确的是.3.已知等差数列an中，|a5|a9|，公差d0，则使得前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是.答案6或7解析由|a5|a9|且d0得a50，a90，且a5a902a112d0a16d0，即a70，故S6S7且最小.4.数列an为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn(n2)2t，则t的值为.答案4解析等差数列前n项和Sn的形式为Snan2bn，t4.5.已知数列an的前n项和Sn32n，求an.解当n1时，a1S1325.当n2时，Sn132n1，又Sn32n，anSnSn12n2n12n1(n2).又当n1时，a121115，an1.因为anSnSn1在n2时才有意义，所以由Sn求通项公式anf(n)时，要分n1和n2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示.2.求等差数列前n项和最值的方法(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意nN*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观.(2)通项法：当a10，d0，时，Sn取得最大值；当a10，时，Sn取得最小值.3.求等差数列an前n项的绝对值之和，关键是找到数列an的正负项的分界点.
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