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高中数学北师大版选修1-1学案：第三章 1 变化的快慢与变化率

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常见问题

1、学习目标1.理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念.2.会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度知识点一函数的平均变化率观察图形，回答下列问题：思考1函数f(x)在区间x1，x2上平均变化率的大小与曲线在区间上的陡峭程度有何关系？思考2怎样理解自变量的增量、函数值的增量？梳理平均变化率(1)定义式：_.(2)实质：_之比(3)作用：刻画函数值在区间x1，x2上变化的_(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1)，P2(x2，f(x2)是函数yf(x)图像上的两点，则平均变化率表示割线P1P2的_知识点二瞬时变化率思考1物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态？思考2如何描述物体在某一时刻的运动状态？梳理要求物体在t0时刻的瞬时速度，设运动方程为ss(t)，可先求物体在(t0，t0t)内的平均速度_，然后t趋于0，得到物体在t0时刻的_类型一函数的平均变化率命题角度1求函数的平均变化率例1求函数yf(x)x2在x1,2,3附近的平均变化率，取x都为，哪一点附近的平均变化率最大？反思与感悟求平均变化率的主要步骤(1)先计算函数值的改变量yf(x2)f(x1)；(2)再计算自变量的改变量xx2x1

2、；(3)得平均变化率.跟踪训练1(1)已知函数f(x)x22x5的图像上的一点A(1，6)及邻近一点B(1x，6y)，则_.(2)如图所示是函数yf(x)的图像，则函数f(x)在区间1,1上的平均变化率为_；函数f(x)在区间0,2上的平均变化率为_命题角度2平均变化率的几何意义例2过曲线yf(x)x2x上的两点P(1,0)和Q(1x，y)作曲线的割线，已知割线PQ的斜率为2，求x的值反思与感悟函数yf(x)从x1到x2的平均变化率的实质是函数yf(x)图像上两点P1(x1，f(x1)，P2(x2，f(x2)连线P1P2的斜率，即kP1P2.跟踪训练2(1)甲，乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，则在0，t0这个时间段内，甲，乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是()Av甲v乙Bv甲0)竖直上抛的物体，t秒时的高度s与t的函数关系为sv0tgt2，求物体在时刻t0处的瞬时速度反思与感悟(1)求瞬时速度的步骤求位移改变量ss(t0t)s(t0)；求平均速度v；当t趋于0时，平均速度趋于瞬时速度(2)求当x无限趋近于0时的值在表达式中，可把x作为一个数来参加运算；求出

3、的表达式后，x无限趋近于0就是令x0，求出结果即可跟踪训练3一质点M按运动方程s(t)at21做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值1已知函数f(x)，当自变量由x0变化到x1时，函数值的增量与相应的自变量的增量之比是函数()A在x0处的变化率B在区间x0，x1上的平均变化率C在x1处的变化率D以上结论都不对2一物体的运动方程是s32t，则在2,2.1这段时间内的平均速度是()A0.4 B2 C0.3 D0.23物体运动时位移s与时间t的函数关系是s4t216t，此物体在某一时刻的瞬时速度为零，则相应的时刻为()At1 Bt2 Ct3 Dt44球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为_5设函数f(x)3x22在x01,2,3附近x取时的平均变化率分别为k1，k2，k3，比较k1，k2，k3的大小1平均变化率反映函数在某个范围内变化的快慢；瞬时变化率反映函数在某点处变化的快慢2可以使用逼近的思想理解瞬时变化率，同时结合变化率的实际意义答案精析问题导学知识点一思考1(1)yf(x)在区间x1，x2上的平均变化率是曲线yf(x)

4、在区间x1，x2上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”(2)平均变化率的绝对值越大，曲线yf(x)在区间x1，x2上越“陡峭”，反之亦然思考2(1)自变量的增量：用x表示，即xx2x1，表示自变量相对于x1的“增加量”(2)函数值的增量：用y表示，即yf(x2)f(x1)，也表示为f(x1x)f(x1)，表示函数值在x1的“增加量”(3)增量并不一定都是正值，也可以是负值，函数值的增量还可以是0，比如常数函数，其函数值的增量就是0.梳理(1)(2)函数值的改变量与自变量的改变量(3)快慢(4)斜率知识点二思考1不能如高台跳水运动员从起跳高度到最高点然后回到起跳高度的过程中，平均速度为0，而运动员一直处于运动状态思考2可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态梳理瞬时速度题型探究例1解在x1附近的平均变化率为k12x；在x2附近的平均变化率为k24x；在x3附近的平均变化率为k36x.当x时，k12，k24，k36.由于k1k2k3，所以在x3附近的平均变化率最大跟踪训练1(1)x(2)解析(1)x.(2)函数f(x)在区间1,1上的平均变化率为.由函数f(x

5、)的图像知，f(x)所以函数f(x)在区间0,2上的平均变化率为.例2解割线PQ的斜率即为函数f(x)从1到1x的平均变化率.yf(1x)f(1)(1x)2(1x)(121)x(x)2，割线PQ的斜率k1x.又割线PQ的斜率为2，1x2，x1.跟踪训练2(1)B(2)解析(1)设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义知，s1(t)在0，t0上的平均变化率v甲kAC，s2(t)在0，t0上的平均变化率v乙kBC.因为kACkBC，所以v甲v乙(2)当x0.5时，2x2.5，故2y，故kPQ.例3解因为sv0(t0t)g(t0t)2(v0gt0)tg(t)2，所以v0gt0gt.当t趋于0时，趋于v0gt0，故物体在时刻t0处的瞬时速度为v0gt0.跟踪训练3解质点M在t2时的瞬时速度即为函数在t2处的瞬时变化率质点M在t2附近的平均变化率4aat，当t趋于0时，趋于4a，4a8，得a2.当堂训练1B2.B3.B4.5解函数在x0，x0x上的平均变化率为6x03x.当x01，x时，函数在1,1.5上的平均变化率为k16130.57.5；当x02，x时，函数在2,2.5上的平均变化率为k26230.513.5；当x03，x时，函数在3,3.5上的平均变化率为k36330.519.5，所以k1k2k3.

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