高中数学苏教版必修5学案：2.2.3　等差数列的前n项和（一）

1、2.2.3等差数列的前n项和(一)学习目标1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个.知识点一数列前n项和的概念把a1a2an叫数列an的前n项和，记作Sn. a1a2a3an1Sn1(n2).思考由Sn与Sn1的表达式可以得出an知识点二等差数列前n项和公式、推导和认识1.公式：若an是等差数列，则Sn可以用首项a1和末项an表示为Sn.2.若首项为a1，公差为d，则Sn可以表示为Snna1n(n1)d.3.推导：(方法：倒序相加法)过程：Sna1a2an，Snanan1a1，a1ana2an1ana1，2Snn(a1an)，Sn.4.从函数角度认识等差数列的前n项和公式(1)公式的变形Snna1n2(a1)n.(2)从函数角度认识公式当d0时，Sn是项数n的二次函数，且不含常数项；当d0时，Snna1，不是项数n的二次函数.(3)结论及其应用已知数列an的前n项和SnAn2BnC，若C0，则数列an为等

2、差数列；若C0，则数列an不是等差数列.思考等差数列an的前n项和为Sn，且S36，a14，则公差d .答案2解析S3a1a2a33a26，a22，又a14，d2.知识点三等差数列前n项和的性质1.若数列an是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为.2.若Sm，S2m，S3m分别为an的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列，公差为m2d.3.设两个等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，则.4.若等差数列的项数为2n，则S2nn(anan1)，S偶S奇nd，.5.若等差数列的项数为2n1，则S2n1(2n1)an1，S偶S奇an1，.思考等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和是 .答案210解析设an的前3m项和是S，Sm，S2mSm，S3mS2m分别为30,70，S100.由性质知30,70，S100成等差数列.27030(S100)，S210.题型一与等差数列Sn有关的基本量的计算例1 在等差数列an中.(1)a1，an，Sn5，求n和d.(2)a14，S8172，求a8和d.解(1)由题意得，Sn

3、5，解得n15.又a15(151)d，d.n15，d.(2)由已知得S8172，解得a839，又a84(81)d39，d5.a839，d5.反思与感悟a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，在求解过程中要注意整体思想的运用.跟踪训练1在等差数列an中.(1)已知a610，S55，求a8和S10；(2)已知a3a1540，求S17.解(1)解得a15，d3.a8a62d102316，S1010a1d10(5)59385.(2)S17340.题型二等差数列前n项和性质的应用例2(1)设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7 .(2)等差数列an与bn的前n项和分别是Sn和Tn，已知，则 .(3)已知数列an的通项公式为an2n1(nN*)，其前n项和为Sn，则数列的前10项的和为 .答案(1)49(2)(3)75解析(1)S7(a1a7)(a2a6)(311)49.(2).(3)Snn(n2).n2，首项为3，公差为1，的前10项和为1031

4、75.反思与感悟等差数列前n项和运算的几种思维方法(1)整体思路：利用公式Sn，设法求出整体a1an，再代入求解.(2)待定系数法：利用Sn是关于n的二次函数，设SnAn2Bn(A0)，列出方程组求出A，B即可，或利用是关于n的一次函数，设anb(a0)进行计算.(3)利用Sn，S2nSn，S3nS2n成等差数列进行求解.跟踪训练2(1)设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9 .答案45解析由an是等差数列，得S3，S6S3，S9S6为等差数列，即2(S6S3)S3(S9S6)，得到S9S62S63S345，即a7a8a945.(2)已知两个等差数列an与bn的前n(n1)项和分别是Sn和Tn，且SnTn(2n1)(3n2)，求的值.解方法一.方法二数列an，bn均为等差数列，SnA1n2B1n，TnA2n2B2n.又，令Sntn(2n1)，Tntn(3n2)，t0，且tR，anSnSn1tn(2n1)t(n1)(2n21)tn(2n1)t(n1)(2n1)t(4n1)(n2)，bnTnTn1tn(3n2)t(n1)(3n5)t(6n5)(n2).，.题型三

5、等差数列前n项和公式在实际中的应用例3某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？解设每次交款数额依次为a1，a2，a20，则a1501 0001%60(元)，a250(1 00050)1%59.5(元)，a1050(1 000950)1%55.5(元)，即第10个月应付款55.5元.由于an是以60为首项，以0.5为公差的等差数列，所以有S20201 105(元)，即全部付清后实际付款1 1051501 255(元).反思与感悟建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数.跟踪训练3植树节期间，某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为 米.答案2 000解析假设20位同学是1号到20号依次排列，使每

6、位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程都组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为S920201020202 000 米.1.在等差数列an中，S10120，那么a1a10的值是 .答案24解析S105(a1a10)120，a1a1024.2.在等差数列an中，a2a519，S540，则a10 .答案29解析设等差数列an的首项为a1，公差为d，由已知得解得a1029329.3.已知数列an中，aa2a3a89，且an0，则S10 .答案15解析易知(a3a8)29.an0，a3a83.S1015.4.等差数列an的前四项之和为124，后四项之和为156，且所有项之和为210，则此数列的项数为 .答案6解析由题意知a1a2a3a4124，anan1an2an3156，4(a1an)280，a1an70.又S70210，n6.5.在等差数列an中，an2n3，则等差数列an从第100项到第200项之和S的值为 .答案30 603解析a100203，S203101230 603.1.求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到.2.等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量，在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意结论“若mnpq，则anamapaq(n，m，p，qN*)，若mn2p，则anam2ap”的应用.3.本节的思想方法：方程思想，函数思想，整体思想.

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