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高中数学苏教版必修5学案:1.1 正弦定理(一)

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  • 卖家[上传人]:tang****xu3
  • 文档编号:126928243
  • 上传时间:2020-03-28
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    • 1、学习目标1.通过对任意三角形边长和角度的关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题.知识点一在RtABC中的有关定理在RtABC中,C90,则有:1.AB90,0A90,0B0),则aksin A,bksin B,cksin C,故abcsin Asin Bsin C,故正确.当A30,B60时,sin 2Asin 2B,此时ab,故错误.根据比例式的性质易得正确.大边对大角,故正确.反思与感悟如果,那么(b,d0)(合比定理);(b,d0)(分比定理);(ab,cd)(合分比定理);可以推广为:如果,那么.跟踪训练1在ABC中,下列关系一定成立的是 .absin A;absin A;absin A;absin A.答案解析在ABC中,B(0,),sin B(0,1, 1,由正弦定理得absin A.题型二用正弦定理解三角形例2(1)在ABC中,已知c10,A45,C30,解这个三角形.(2)在ABC中,已知c,A45,a2,解这个三角形.解(1)A45,C30,B180(AC)105,由得a10.sin 75sin(3045

      2、)sin 30cos 45cos 30sin 45,b2055.B105,a10,b55.(2),sin C,C(0,180),C60或C120.当C60时,B75,b1;当C120时,B15,b1.b1,B75,C60或b1,B15,C120.反思与感悟(1)如果已知三角形的任意两个角与一边解三角形时,由三角形内角和定理可以计算出三角形的另一角,由正弦定理可计算出三角形的另两边.(2)已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时,首先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值,若这个角不是直角,则利用三角形中大边对大角看能否判断所求这个角是锐角,当已知的角为大边所对的角时,则能判断另一边所对的角为锐角,当已知的角为小边所对的角时,则不能判断,此时就有两组解,再分别求解即可;然后由三角形内角和定理求出第三个角;最后根据正弦定理求出第三条边.跟踪训练2(1)在ABC中,已知a8,B60,C75,则b .(2)在ABC中,若a,b2,A30,则C .答案(1)4(2)105或15解析(1)易知A45,由得b4.(2)由正弦定理,得sin B.B(0,180),B45或135,C1804530105或

      3、C1801353015.题型三判断三角形的形状例3在ABC中,已知a2tan Bb2tan A,试判断三角形的形状.解由已知得,由正弦定理得.sin A0,sin B0,sin Acos Asin Bcos B.即sin 2Asin 2B.2A2B或2A2B.AB或AB.ABC为等腰三角形或直角三角形.反思与感悟(1)判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行,既可以转化为边与边的关系,也可以转化为角与角的关系.(2)注意在边角互化过程中,正弦定理的变形使用,如等. 跟踪训练3在ABC中,bsin Bcsin C且sin2Asin2Bsin2C,试判断三角形的形状.解由bsin Bcsin C,得b2c2,bc,ABC为等腰三角形,由sin2Asin2Bsin2C得a2b2c2,ABC为直角三角形,ABC为等腰直角三角形.1.在ABC中,ABc,ACb,BCa,下列等式中总能成立的是 .asin Absin B;bsin Ccsin A;absin Cbcsin B;asin Ccsin A.答案解析由正弦定理,得asin Ccsin A.2.在ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a,b,B60,那么A .答案45解析由得sin A,A45或135.又ab,A0).2.正弦定理的应用:已知两角和任一边,求其他两边和一角.已知两边和其中一边的对角,求另一边和两角.3.利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化:一方面可以化边为角,转化为三角函数问题来解决;另一方面,也可以化角为边,转化为代数问题来解决.

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