高中数学苏教版必修5学案：1.3　正弦定理、余弦定理的应用（一）

1、学习目标1.利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题.2.利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关高度的测量问题.3.利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关角度的测量问题.知识点一有关的几个术语1.方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的角.如图所示的1、2即表示点A和点B的方位角.故方位角的范围是0，360).2.方向角：指以观测者为中心，指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，它是方位角的另一种表示形式.如图，左图中表示北偏东30，右图中表示南偏西60.思考上两图中的两个方向，用方位角应表示为30(左图)，240(右图).3.仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫做仰角；目标视线在水平视线下方时叫做俯角.如图所示.4.视角：观测者的两条视线之间的夹角叫做视角.5.坡角：坡面与水平面的夹角叫坡角，坡面的铅直高度与水平宽度之比叫坡度(tan )，如图.知识点二解三角形应用题解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解三角形，得到实际问题的解，求解的关键是将实际问题转化为解三

2、角形问题.(1)解题思路(2)基本步骤运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤如下：分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形)；建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型；求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解；检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解.(3)主要类型题型一测量距离问题例1(1)海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B，C间的距离是 海里.答案5 解析根据题意，如图所示.在ABC中，A60，B75，AB10，C45.由正弦定理可得，即，BC5(海里).(2)在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为的军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且ADB30，BDC30，DCA60，ACB45，如图所示，求蓝方这两支精锐部队之间的距离. 解ADCADBCDB60，又DCA60，DAC60.ADCDACa.在BCD中，DBC45，BCa.在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22

3、ACBCcos 45a2a22aaa2.ABa.蓝方这两支精锐部队之间的距离为a.反思与感悟求距离问题时应注意的三点(1)选定或确定所求量所在的三角形.若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.(3)测量两个不可到达的点之间的距离问题.首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后在相关三角形中利用正弦定理计算其他边.跟踪训练1如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距20米的C、D两点，测得BCA60，ACD30，CDB45，BDA 60，那么此时A、B两点间的距离是多少？解由正弦定理得AC10(1)(米)，BC20(米).在ABC中，由余弦定理得AB10(米).A、B两点间的距离为10米.题型二测量高度问题例2如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45，BAD120，又在B点测得ABD45，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD. 解由于CD平面ABD，CAD45，所以CDAD.因此只需在ABD

4、中求出AD即可，在ABD中，BDA1804512015，由，得AD800(1)(m).即山的高度为800(1) m.反思与感悟在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解.跟踪训练2(1)甲、乙两楼相距a，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、乙两楼的高分别是 .答案a，a解析甲楼的高为atan 60a，乙楼的高为aatan 30aaa.(2)如图，地平面上有一旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上选两点A，B，AB20 m，在A点处测得P点仰角OAP30，在B点处测得P点的仰角OBP45，又测得AOB60，求旗杆的高度h.(结果保留两个有效数字)解在RtAOP中，OAP30，OPh.OAOPh.在RtBOP中，OBP45，OBOPh.在AOB中，AB20，AOB60，由余弦定理得AB2OA2OB22OAOBcos 60，即202(h)2h22hh，解得h2176.4，h13 m.题型三测量角度问题例3如图，在海岸A处发现北偏东45

5、方向，距A处(1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间. 解设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD10t，BD10t，在ABC中，由余弦定理，有BC2AB2AC22ABACcos A(1)2222(1)2cos 1206.BC.又，sinABC，又ABC(0，60)，ABC45，B点在C点的正东方向上，CBD9030120，在BCD中，由正弦定理得，sinBCD.又BCD(0，90)，BCD30，缉私船沿北偏东60的方向行驶.又在BCD中，CBD120，BCD30，D30，BDBC，即10t.t小时15分钟.缉私船应沿北偏东60的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.反思与感悟航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解决这类问题一定要搞清方位角，再就是选择好不动点，然后根据条件，画出示意图，转化为解三角形问题.跟踪训练3甲船在A处观察到乙船在它的

6、北偏东60方向的B处，两船相距a n mile，乙船向正北方向行驶.若甲船的速度是乙船速度的倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船？相遇时乙船行驶了多少n mile?解如图所示，设两船在C处相遇，并设CAB，乙船行驶距离BC为x n mile，则ACx，由正弦定理得sin ，而60，30，ACB30，BCABa.甲船应沿北偏东30方向前进才能最快追上乙船，两船相遇时乙船行驶了a n mile.1.一艘船上午930在A处，测得灯塔S在它的北偏东30的方向，且与它相距8海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午1000到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75的方向，此船的航速是 海里/时.答案16()解析由题意得在三角形SAB中，BAS30，SBA18075105，BSA45.由正弦定理得，即，得AB8()，因此此船的航速为16()(海里/时).2.在某测量中，设A在B的南偏东3427，则B在A的北偏西 .答案3427解析由方向角的概念，B在A的北偏西3427.3.甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20 m高的旗杆，甲观测的仰角为50，乙观测的仰角为40，用d1，d2分别表示甲、乙

7、两人离旗杆的距离，那么d1，d2的大小关系是 .答案d1d2解析仰角大说明距离小，仰角小说明距离大，即d1d2.4.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40，灯塔B在观察站C的南偏东60，则灯塔A在灯塔B的北偏西 .答案10解析由题意可知ACB180406080.ACBC，CABCBA50，从而可知灯塔A在灯塔B的北偏西10.5.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45，若CD50 m，山坡对于地平面的坡度为，则cos . 答案1解析在ABC中，由正弦定理，AC100.在ADC中，cos sin(90)1.6.2012年10月29日，飓风“桑迪”袭击美国东部，如图，在灾区的搜救现场，一条搜救犬从A处沿正北方向行进x m到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105，行进10 m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135后继续前行回到出发点，那么x m.答案解析由题意CBA75，BCA45，BAC180754560，x(m).1.正弦、余弦定理在实际

8、测量中的应用的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.2.解三角形应用题常见的两种情况(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解有足够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解.3.测量距离问题包括两种情况(1)测量一个可到达点到另一个不可到达点之间的距离.(2)测量两个不可到达点之间的距离.第一种情况实际上是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，用正弦定理即可解决(如图1)；对于第二种情况，首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用正弦定理求三角形边长的问题，然后把BC，AC转化为测量可到达的点与不可到达的点之间的距离问题(如图2).4.测量底部不可到达的建筑物的高度问题.由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题.5.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解

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