2007年上海市中学生业余数学学校预备年级招生考试与参考答案

1、 2007 年上海市中学生业余数学学校年上海市中学生业余数学学校 预备年级招生考试预备年级招生考试 城隍喵城隍喵 2007 年上海市中学生业余数学学校年上海市中学生业余数学学校 预备年级招生考试预备年级招生考试 10月13日 上午8 309 30 本卷满分100分 7 48 410 4100 第 1 题 数2727272727和5454545463的最大公约数是 分析与解 辗转相除法 5454545463272727272729 27272727279303030303 2727272727 54545454632727272727 99 即数2727272727和5454545463的最大公约数是9 第 2 题 设 999 999999999n 个 则n的十进制表示中数码1有 个 分析与解 999990 99999999910110011000110001n 个个 991971971 991990 10100100010001 1 1111101 9911111099111011 个个个 个个 故n的十进制表示中数码1有99个 2007 年上海市中学生业余数学学校年上海市中学生业余数

2、学学校 预备年级招生考试预备年级招生考试 城隍喵城隍喵 第 3 题 在平行四边形 PQRS 中 点T 在边PS上 且 3 2PT TS 则四边形 PQRT 的面积与平行四边形 PQRS 的 面积之比是 TS RQ P 分析与解 方法一 P QR ST 连接 PR 因为 3 2PT TS 所以 3 2 PTRTSR SS 所以 2 5 TSRPSR SS 因为2 PSRPQRS SS 平行四边形 所以 2 101 5 TSRPQRS SS 平行四边形 所以 4 5 PQRTPQRS SS 四边形平行四边形 2007 年上海市中学生业余数学学校年上海市中学生业余数学学校 预备年级招生考试预备年级招生考试 城隍喵城隍喵 方法二 P QR ST O 过点T作 TOPQ 交QR于点O 因为 PSQR PQSRTO 所以四边形PQOT和四边形TORS都是平行四边形 所以PTQO TSOR PQTOQT SS RSTROT SS 因为 3 2PT TS 所以 3 2QO OR 所以 3 2 OQTROT SS 所以 3 3 2 2 PQTOQTRSTROT SSSS 所以 8 104 5 PQRTP

3、QRS SS 四边形平行四边形 2007 年上海市中学生业余数学学校年上海市中学生业余数学学校 预备年级招生考试预备年级招生考试 城隍喵城隍喵 第4题 如图 ABED和AFCD是两个面积都为 2 2007cm的平行四边形 AF与DE垂直 且点E F在直线BC上 若9AOcm 3DOcm 则OEF 的面积为 2 cm O FECB DA 分析与解 因为 ABED SDEAO 平行四边形 所以20079223 ABED DESAOcm 平行四边形 所以2233220OEDEDOcm 因为 AFCD SAFDO 平行四边形 所以20093669 AFCD AFSDOcm 平行四边形 所以6699660OFAFAOcm 所以 2 2220660272600 OEF SOEOFcm 2007 年上海市中学生业余数学学校年上海市中学生业余数学学校 预备年级招生考试预备年级招生考试 城隍喵城隍喵 第5题 使2n 能被3整除 且3n 能被7整除的所有两位数n是 分析与解 方法一 2n 能被3整除 即2n 是3的倍数 n是3的倍数2 可能为2 5 8 11 14 17 3n 能被7整除 即3n 是7的倍

4、数 n是7的倍数3 可能为3 10 17 3 721 n是21的倍数17 故两位数n是17 38 59 80 方法二 3 73 721 既能被3整除 又能被7整除 213215 能被3整除 21714 能被7整除 令 215 314 n n 则17n n是21的倍数17 故两位数n是17 38 59 80 2007 年上海市中学生业余数学学校年上海市中学生业余数学学校 预备年级招生考试预备年级招生考试 城隍喵城隍喵 第6题 如图 是由3个单位正方形拼成的图形 其中有8个顶点 从8个顶点中的任意3个组成的三角形中 等腰直 角三角形有 个 分析与解 设单位正方形的边长为1 如图1所示 每个单位正方形内有4个面积为0 5的等腰直角三角形 图1 如图2所示 单位正方形外还有1个面积为0 5的等腰直角三角形 图2 面积为0 5的等腰直角三角形有43113 个 如图3和图4所示 面积为1的等腰直角三角形有6个 图3 2007 年上海市中学生业余数学学校年上海市中学生业余数学学校 预备年级招生考试预备年级招生考试 城隍喵城隍喵 图4 如图5所示 面积为2的等腰直角三角形有1个 图5 综上所述 等腰直

5、角三角形有136120 个 第7题 在一个形状是正三角形的花圃内铺满边长为1的小三角形 约定在小正三角形的每个顶点及中心处都放一 盆花 如图 在边长为3的正三角形花圃内共放19盆花 则在边长为100的正三角形花圃内共要放 盆花 分析与解 在正三角形边上要放 12341011 10110125151 盆花 在正三角形内部要放 2 100 13510010000 个奇数 盆花 在边长为100的正三角形花圃内共要放5151 1000015151 盆花 2007 年上海市中学生业余数学学校年上海市中学生业余数学学校 预备年级招生考试预备年级招生考试 城隍喵城隍喵 第8题 在等式1 92007 的 里分别填入正整数 使得等式成立 则不同的填法有 种 分析与解 设等式为1 92007 xy 1 92007 1 99223 1 1 9223 9 223 xy xy y x y x 故 1 8 223 x y 或 2 7 223 x y 或 3 6 223 x y 或 4 5 223 x y 或 5 4 223 x y 或 6 3 223 x y 或 7 2 223 x y 或 8 1 223 x y

6、 即 1 223 8 x y 或 2 223 7 x y 或 3 223 6 x y 或 4 223 5 x y 或 5 2234 x y 或 6 223 3 x y 或 7 2232 x y 或 8 223 1 x y 即方程1 92007 xy 有8组正整数解 故在等式1 92007 的 里分别填入正整数 使得等式成立 则不同的填法有8种 2007 年上海市中学生业余数学学校年上海市中学生业余数学学校 预备年级招生考试预备年级招生考试 城隍喵城隍喵 第 9 题 如图所示 一个大的矩形被分成6个边长都是整数厘米的小矩形 其中的4个小矩形的周长分别为10 12 14和16厘米 在图中已将此数值标记在它的内部 那么大矩形的周长最小是 厘米 16 14 12 10 分析与解 方法一 甲 乙 丙 丁 10 12 14 16 矩形甲的周长10 厘米 矩形甲的长 矩形甲的宽1025 厘米 当矩形甲的长1 厘米 矩形甲的宽4 厘米时 矩形乙的长1 厘米 矩形乙的宽12215 厘米 矩形丙的长1 厘米 矩形丙的宽14216 厘米 矩形丁的宽5 厘米 矩形丁的长16253 厘米 大矩形的长134 厘米

7、 大矩形的宽45615 厘米 大矩形的周长 415238 厘米 当矩形甲的长2 厘米 矩形甲的宽3 厘米时 矩形乙的长2 厘米 矩形乙的宽12224 厘米 矩形丙的长2 厘米 矩形丙的宽14225 厘米 矩形丁的宽4 厘米 矩形丁的长16244 厘米 2007 年上海市中学生业余数学学校年上海市中学生业余数学学校 预备年级招生考试预备年级招生考试 城隍喵城隍喵 大矩形的长246 厘米 大矩形的宽34512 厘米 大矩形的周长 612236 厘米 当矩形甲的长3 厘米 矩形甲的宽2 厘米时 矩形乙的长3 厘米 矩形乙的宽12233 厘米 矩形丙的长3 厘米 矩形丙的宽14234 厘米 矩形丁的宽3 厘米 矩形丁的长16235 厘米 大矩形的长358 厘米 大矩形的宽2349 厘米 大矩形的周长 89234 厘米 当矩形甲的长4 厘米 矩形甲的宽1 厘米时 矩形乙的长4 厘米 矩形乙的宽12242 厘米 矩形丙的长4 厘米 矩形丙的宽14243 厘米 矩形丁的宽2 厘米 矩形丁的长16226 厘米 大矩形的长4610 厘米 大矩形的宽1236 厘米 大矩形的周长 106232 厘米 综上所

8、述 大矩形的周长最小是32厘米 方法二 甲 丙 丁 10 14 1616 14 10 丁 丙 甲 如图所示 分别将矩形甲 丙 丁的边平移 可得 矩形甲的周长 矩形丙的周长 矩形丁的周长 大矩形的周长 矩形甲的长2 大矩形的周长 矩形甲的周长 矩形丙的周长 矩形丁的周长 矩形甲的长2 101416 矩形甲的长240 矩形甲的长2 当矩形甲的长4 时 大矩形的周长最小 为404232 厘米 经检验 同时满足所有小矩形的长和宽均为整数厘米 2007 年上海市中学生业余数学学校年上海市中学生业余数学学校 预备年级招生考试预备年级招生考试 城隍喵城隍喵 第 10 题 在等式 ABCDDEECCFF 中 A B C D E F 代表1 9 中不同的数字 那么 六位 数 ABCDEF 分析与解 因为9999198DEEABCD 所以1D 2 DEECCFFCF 为完全平方数 而100 199中的完全平方数有 2 10100 2 11121 2 12144 2 13169 2 14196 满足DEE末两位相同且不为0的只有 2 12144 即144DEE 即 1 4 D E 故12CF 而121 12

9、2634 由于 1 4 D E 而不同字母代表不同数字 故 2 6 C F 或 6 2 C F 当 2 6 C F 时 14421123ABDEECD 不成立 舍去 当 6 2 C F 时 1446183ABDEECD 即 8 3 A B 故六位数836142ABCDEF 2007 年上海市中学生业余数学学校年上海市中学生业余数学学校 预备年级招生考试预备年级招生考试 城隍喵城隍喵 第11题 今年每天都可以记成一个八位 数 例如今年8月1日可记为20070801 今天是2007年10月13日 可以 记为20070801 它的各位数字之和为14 今年日期的八位 数 各位数字之和为14的共有 天 包 括今天在内 分析与解 设今年 2007年 ab月cd日的日期可记为2007abcd 200714abcd 5abcd 当01ab 时 011ab 则514cd 04cd 或13或22或31 当02ab 时 022ab 则523cd 03cd 或12或21 当03ab 时 033ab 则532cd 02cd 或11或20 当04ab 时 044ab 则541cd 01cd 或10 当05ab 或06或07或08或09时 均不满足5abcd 当10ab 时 101ab 则514cd 04cd 或13或22或31 当11ab 时 1 12ab 则523cd 03cd 或12或21或30 当12ab 时 123ab 则532cd 02cd 或11或20 综上所述 今年 2007年 日期的八位 数 各位数字之和为14的共有433244323 天 第12题 从1 2 2006中 至少要取出 个奇数 才能保证其中必定存在两个数 它们的和为2008 分析与解 1 2006中一共有200621003 个奇数 把和为2008的两个奇数分为一组 1单独作为一组 一共有502组 1 3 2005 5 2003 7 2001 1001 1007 1003 1005 而不同的两组中的两个数和一定不等于2008 根据最不利原则 先每组各取一个数 再取一个数 即至少要取出5021503 个奇数 才能保证其中必定存在两个数 它们的和为2008

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