科大力学PPT6

1、杨维纮 第六章 刚体力学 质点是作为抽象模型而引入的 如问题不涉及转动 或物体的大小对于研究问题并不重要 可以将实际的物体 抽象为质点 质点 这就根本谈不上在空间中的取向 也根本 谈不上转动 问题如涉及转动 就不能不考虑到物体的 大小与形状 不能再将物体抽象为质点 不能再采用质 点这一模型 当然 我们可以将物体细分成很多部分 每一部分都看成是一个质点 利用各部分之间的位置关 系来描述物体的形状和转动 即我们可以利用 质点组 这一模型 但是 一般的质点组力学问题并不能严格解 决 我们只能了解其运动的总趋向及某些特征 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮 第六章 刚体力学 究其原因 我们引入自由度这一概念 我们把确定 一个力学体系在空间的几何位形所需的独立变数的个数 称为自由度 一个自由的质点显然有三个自由度 n 个 自由的质点所组成的质点组显然有 3n 个自由度 每个 质点有一个矢量的运动方程 n 个质点共有 n 个矢量的 运动方程 亦即 3n 个分量的运动方程 方程的个数与 自由度数符合 在原则上讲 可以从运动方程组解出质 点组的运动情况 但是大数目的微分方程所组成的微分 方程组

2、是很难解出的 质点组力学问题之所以一般不能 严格解出 就是因为微分方程个数大多 换句话说 质 点组力学的困难正在于自由度数太大 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮 第六章 刚体力学 如果需要研究物体的转动 就不能忽略它的形 状和大小而把它简化为质点来处理 但如果物体的 形状和转动不能忽略 而形变可以忽略 我们就得 到实际物体的另外一个抽象模型 刚体 rigid body 即形状和大小完全不变的物体 刚体的这一特点 使刚体力学大大不同于一般的质点组力学 刚体力 学问题虽不是每个都能解决 但有不少是能够解决 的 于是我们定义 刚体是这样一种质点组 组内 任意两质点间的距离保持不变 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮 第六章 刚体力学 6 1 刚体运动学 6 2 施于刚体的力系的简化 6 3 刚体的定轴转动 6 4 刚体运动的基本方程与刚体的平衡 6 5 刚体的平行平面运动 6 6 刚体的定点运动 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮 6 1 1 刚体的性质 6 1 2 刚体的几种特殊运动 6 1 3 刚体的一般运动 6 1 刚体运动学 中 国 科 学 技 术 大 学

3、杨 维 纮 6 1 1 刚体的性质 1 自由刚体的自由度数是6 非自由刚体的自由度数 6 这6个变数当然也可理解为确定刚体上某一点 例如 质心 的位置 这需要3个变数 其次 应指出整个刚体 相对于这一质点的取向 即指明通过该点的某一直线的 方向 三个方向余弦 但三个方向余弦平方和等于一 这需要两个独立变数 并且需要指明刚体相对于这一 直线的方位 绕该直线所转过的角度 这要一个独立 变数 仍然得到同一结论 自由刚体只有六个自由度 简单他说 自由刚体有三个移动自由度 为指出刚 体中某一质点的位置需要三个独立变数 三个转动自 由度 为指出刚体相对于该质点的取向又需要三个独立 变数 但是 非自由刚体的自由度没有这么多 例如 绕固定轴线转动的刚体就只有一个自由度 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮 6 1 1 刚体的性质 1 自由刚体的自由度数是6 非自由刚体的自由度数 6 刚体既然只有六个自由度 它的运动定律也 就可以归结为六个独立方程 我们前面学过的质 心运动定理确定刚体质心的运动 而动量矩定理 确定刚体在空间中的取向与方位随时间变化的情 况 这样 这两个定理 两个矢量方程式 即六

4、个分量方程式 就完全确定了刚体的运动 作为 对照 我们知道 在质点组动力学中 质心运动 定理与角动量定理只给出质点组运动的总趋向与 特征 并不足以完全确定质点组的运动情况 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮 6 1 1 刚体的性质 2 刚体的质心 刚体是由连续分布的质点所组成的质点组 由第三 章 3 2 5 式知 刚体的质心为 这里的积分应遍及刚体的全部体积 在实际计算时 我们常用质心位矢的分量形式 为 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮 6 1 1 刚体的性质 2 刚体的质心 对于特殊情况 如果刚体具有对称 中心 质心就在对称中心 如果刚体无 对称中心 但可划分为几个部分 而每 一部分都有对称中心 各部分的质心就 在其对称中心 这些质心形成为分立质 点的质点组 刚体的质心就归结为这一 质点组的质心 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮 6 1 1 刚体的性质 3 刚体的内力作功为零 将动能定理应用于刚体时 应注意刚体的一个特点 内力所作的总功为零 现在证明如下 试考察刚体的 第 j 个质点与第 k 个质点相互作用的 Fjk 与 Fkj 这一对内 力 如刚体稍微改

5、变其位置 第 j 个质点与第 k 个质点 的位移各为 drj 与 drk 则这一对内力所作功的和为 由于刚体内任意两质点间的距离保持不变 故有 微分一次 得 即 而 于是知刚体的内力作功为零 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮 6 1 1 刚体的性质 3 刚体的内力作功为零 于是 对于刚体 动能定理 4 2 13 就成为 若外力的功可分为保守力作的功和非保守力作的功 而 保守力作的功可以用势能的减少来表达 即 于是刚体的功能原理为 若 则可得刚体的机械能守恒定律 对于刚体 不仅在质心运动定理与动量矩定理中无须计及 内力 就连在动能定理中也无须计及内力 这是不同于一 般质点组的 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮 6 1 2 刚体的几种特殊运动 由于受到不同的约束 刚体可以有各种运动形式 每种运动形式对应的自由度也不相同 1 平动 作平动时 刚体上每一点的运动情况完全相同 刚体的运动可用一质点来代表 因而这种运动的描 述与质点相同 其自由度为3 或称有3个平动自由度 2 定轴转动 刚体运动时 刚体上的各质点均绕同一直 线作圆周运动 这条不动的直线称为转轴 这种运动 称为刚

6、体的定轴转动 在定轴转动时 刚体上凡是与 轴平行的直线上的质点运动情况相同 即有相同的位 移 速度和加速度 因此 讨论时只需考虑与转轴垂 直的一个截面的运动 刚体的位形由此截面的位形决 定 而截面的位形只需不在轴上的一个质点的方位 常用角位置 表示 显然 定轴转动只有一个自由度 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮 6 1 2 刚体的几种特殊运动 3 平面平行运动 刚体在运动过程中 其上每一点都在 与某固定平面相平行的平面内运动 这种运动称为刚 体的平面平行运动 这时 刚体内任一与固定平面相 垂直的直线上所有点的运动情况完全相同 因而刚体 的运动可用与固定平面相平行的任一截面的运动来代 表 而该截面在通过自身平面内的运动可以看成其上 任一点A 称为基点 在平面上的移动与该截面绕过 该点且垂直于平面的轴线的转动的组合 确定基点的 位置需要两个平动参量 在与基点相对静止的参照系 上 刚体的运动成为绕过基点的固定轴的转动 即定 轴转动 这需要一个转动参量 于是 刚体的平面平 行运动的自由度为3 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮 6 1 2 刚体的几种特殊运动 4 定点转动 刚

7、体运动时 始终绕一固定点转动 这 种运动称为刚体的定点转动 这个定点可以在刚体 上 也可以在刚体的延拓部分 可以证明 作定点 转动的刚体 在任一瞬时 总可看成绕通过该定点 的某一瞬时轴的转动 下一瞬时则为绕另一瞬时轴 的转动 不难看出 定点转动的自由度为3 3个 转动自由度 由以上分析可见 刚体平动的描述与质点的运动相 当 只需考虑质心的运动即可 不必另加讨论 所以我 们以后各节将分别讨论刚体的其它三种运动 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮 6 1 3 刚体的一般运动 1 运动的描述 刚体的一般运动可以看成随刚体上某一 基点A 例如质心 的平动和绕该点的定点转 动的组合 在与基点相对静止的参照系上 绕该点的转动即为定点转动 因此 作一般 运动的刚体的自由度为6 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮 6 1 3 刚体的一般运动 2 角速度是矢量 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮 6 1 3 刚体的一般运动 2 角速度是矢量 可见 角位移一般不是矢量 在上面的例子中 角位移是有限大小的 而 瞬时 角速度只与无限小的角位移相联系 现在我 们来证明 角速度的合成服从平

8、行四边形法则 从 而是真正的矢量 自习 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮 6 1 3 刚体的一般运动 3 刚体角速度的绝对性 一般来说 刚体的任何运动都可以分解为 基点的平动及绕基点的定点转动 选择不同的 基点 平动速度就不同 而转动角速度则与基 点的选择无关 不管选择刚体上哪一点 角速 度矢量的方向及大小都不变 刚体的这一重要 性质 称为刚体角速度的绝对性 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮 6 1 3 刚体的一般运动 3 刚体角速度的绝对性 证明 如图表示一个刚体相 对于坐标系 K 的位形 O1 O2 P 是刚体上的任意 三点 它们的位置矢量分 别是 R1 R2 R 显然 这三点的速度分别为 若选 O1为基点 若选 O2为基点 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮 6 1 3 刚体的一般运动 3 刚体角速度的绝对性 又 由于点的任意性 故有 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮 6 2 1 作用在刚体上的力是滑移矢量 6 2 2 几种特殊力系 6 2 施于刚体的力系的简化 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮 6 2 施于刚体的力系的简化 6 2

9、 1 作用在刚体上的力是滑移矢量 力有大小 方向 作用点三个要素 就它对物体 所产生的效果而言 三者都起作用 因而 在一般情 况下 即使保持大小和方向不变 力亦不能平移 因 为这将造成作用点的变动 效果就将不同 这就是说 力不像速度 加速度那样是自由矢量 但由于刚体 是一个刚性整体 当力沿着作用线在刚体上滑移时 对刚体的作用不变 因而称作用在刚体上的力为滑移 矢量 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮 6 2 2 几种特殊力系 1 共点力系 所有力的作用线 或其延长线 交于 一点的力系称为共点力系 显然 这样的 力系可以等效为大小和方向等于诸力矢量 和 作用点就是该交点的一个力 这就是 合力 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮 6 2 2 几种特殊力系 2 平行力系 所有的力都互相平行的 力系称为平行力系 为简单 起见 下面先考虑两个平行 力的合力 1 F1 F2 同向 如图6 5所示 增加一对作用于同一 直线上的力 f 与 f 将 F1 F2 变为 F1 F2 后成为共点 力系 然后求合力 由图 示可知 合力与平行且同 向 大小为F1 F2大小之和 但作用线发生了改变

10、中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮 6 2 2 几种特殊力系 2 平行力系 2 F1 F2 反向 但大小不等 仍可用上法求合力 合力 F F1 F2与 F1 F2 平行 大小为 F1 F2 大小之差 方向与 F1 F2 中的较大者相同 但作用线发生了改变 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮 6 2 2 几种特殊力系 2 平行力系 3 F1 F2 反向 且 F1 F2 没有合力 这一对平行力称为力偶 容易验 证 该力偶对于垂直于该平面的任何轴线的力矩 相同 称该力矩为力偶矩 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮 6 2 2 几种特殊力系 2 平行力系 讨论 1 求多个平行力的力系的合力 先求 F1 F2 的合力 再 求该合力与 F3 的合力 等等 由上述可知 其结果 或为一个合力 或为一个力偶矩 2 可用此法求若干 n 个质点的重心 即 n 个重力的合力 若各点的重力加速度相同 则质心与重心重合 3 选取平动参考系统研究刚体时 刚体中各质点所受的 惯性力系为平行力系 各力的大小正比于质量 这好 象出现了某种 附加重力场 该力场的合力自然作用 于 重心 即作用于质心

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