2011智轩高数基础导学讲义--第三章 微分中值定理的证明方法与基本结论
33页1、2011 智轩 考研 数学 基础 班 讲义 h ttp: /bb s.qi njin g .cc 1 第 三 章 微分 中值定理的证明 方法与基本结论 第一节 等式 的证明 一 、 微分中值定理 等式 的综合证明 方法 中值 8 定 理与 积分 3 定 理及函 数 9 性质 的是 解决 这类问 题的 基本 理论 。 1 中 值 8 定 理 连续 函数 在闭 区间 , x a b 的基 本定理 ( 只 与函 数有 关 ) 的共同 条件 : 闭 区间 上 连 续 。 最大值 与最 小值 定理 , x a b ( )m f x M 。 在微 分中 值 定 理中 , 这 是 一个唯 一的 闭区 间情 形 , 即 , x a b 。 【 例 】 设 )( xf 在 0 , 3 上连 续 , 在 ( )0 , 3 上可导 , ( ) ( ) ( )0 1 2 3f f f+ + = , ( )3 1f = 试 证明 : 存 在一 点 ( )0 , 3x , 使 得 ( ) 0f x = 。 证明 )( xf 在 0 , 3 上连 续 , 则 )( xf 在 0 , 2 上必存 在最 大值 M 和最
2、 小值 m , 于是 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 0 1 23 3 3 3f f f f f fm m m M M Mm M+ + + + + + + 根据 介值 定理 : 存 在一 点 ( )0 , 2c , 使 得 ( )( ) ( ) ( )0 1 213f f ff c+ += = 。 则 ( ) ( )3 1f c f= = , 根据 洛尔 定理 , 存 在一点 ( ) ( ), 3 0 , 3cx , 使 得 ( ) 0f x = 。 介值定 理 m 是介于 ( )f a 与( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , f b f a f b f a f bm m 任一值 , 则 必 ( ) , a bx$ ( )f x m = 。 其推论 是 : 当 m Mm , 则 必 , ( )a b fx x m$ = 。 , a bx 。 注 意 , a bx 是闭 区间 。 介值定 理的 本质 是 : 在连 续函数 的的 值域 内任 意取 个值 , 总能 找到 一个 函数 值与它 相等 。 导数的 介值 定理 ( 达 布定 理 ) : 设 ( )f
3、 x 在 , a b 上可 导 ( 只有 在 闭区间 的端 点有 单侧 导数 定义 ), 且( ) ( )f a f b+ - , 则 对 满 足( ) ( )f a c f b+ - 的 任 意 实 数 c , 均 存 在 ( ), a bx , 使得 ( )f cx = 。 ( 注意 导函 数可 以 不连续 ) 达布定 理证 明 : 不妨 设 ( ) ( )f a c f b+ - + = - - -$ - 根据零 值定 理 : 存在 ( )0 , x + , 使 得 ( ) ( )0 0F fx x x= + = 。 【 例 】 设函 数 )( xf 在 , ba 上连 续 , 在 ),( ba 内可 导 , 且 0)( cf ( ),( bac ) 。 求 证 : 存在 ),( bax , 使 )()( xx ff -= 。 证明 设 )()( xfexFx= , 则 0)(,0)(,0)( $ = 由零 值定 理 1, 1 ( ) 02Fh h $ = 又 ( 0 ) ( 0 ) 0 0 ( )F f F h= - = = , 由洛 尔定 理 ( )0 , x h$ 使得 (
4、 ) 0 ( ) 1F fx x = = 。 2011 智轩 考研 数学 基础 班 讲义 h ttp: /bb s.qi njin g .cc 5 拉 格朗 日中 值定 理 ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )a b f b f a f b ax x$ - = - 。 【 例 】 若 ( )f x 在 0 , a 上可 导 ( )0a , 且 ( ) ( )0 1 , 0f f a= = ; 证 明 : 在 ( )0 , a 内必存 在 ( ) ( )1 2 1 2 21x x f x f xa = - = - , 求 证 :a r c t a nl n( 1 )1xxx+ + 证明 一 函数 单调 法 。 令 ( ) ( 1 ) l n ( 1 ) a r c t a nF x x x x= + + - 22 21 ( ) 1 l n( 1 ) l n( 1 ) 01 1xF x x xx x= + + - = + + + +又 ( 0 ) 0 , ( 0 ) 0F F e= + 为 增函 数 , 故 ( ) 0F x , 原 命题 成立 。 证明 二 柯西 中值 法 。 令
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