高职公共课线性代数 线性代数5
30页1、第第5 5章章 向量空间及线性变换向量空间及线性变换 向量空间的概念 5 1 向量空间的基与维数 5 2 线性变换及线性变换的矩阵 5 3 5 1 5 1 向量空间的概念向量空间的概念 5 1 1 5 1 1 向量空间的一般定义向量空间的一般定义 5 1 2 5 1 2 子空间子空间 5 1 1 5 1 1 向量空间的一般定义向量空间的一般定义 在实向量空间在实向量空间RnRn中 我们定义了向量的中 我们定义了向量的 加法和数乘两种运算 即对任意加法和数乘两种运算 即对任意 Rn Rn 有有 Rn Rn 对对 Rn Rn 且且k k R R 有有 k k Rn Rn 称为称为加法和数乘运算具有封闭性加法和数乘运算具有封闭性 定义定义1 1 设设V V是一个非空集合 是一个非空集合 F F为数域 在为数域 在V V 中定义两种运算 一种叫加法 对中定义两种运算 一种叫加法 对 V V 有有 V V 另一种叫数乘 另一种叫数乘 V V k k F F 有有k k V V 且满足下面且满足下面8 8条法则条法则 1 1 加法交换律 加法交换律 2 2 加法结合律 加法结合律 3 3 零元素存
2、在 对零元素存在 对 V V 0 0 0 0 4 4 负元素存在 对负元素存在 对 V V 0 0 称称 为为 的负元 记的负元 记 即即 0 0 5 5 恒等性 恒等性 1 1 八条法则八条法则 这种在元素之间定义了加法和数乘运算且这种在元素之间定义了加法和数乘运算且 满足八条法则的集合满足八条法则的集合V V称为数域称为数域F F上的一个向上的一个向 量空间量空间 若若F F为实数域 称为实数域 称V V为实向量空间 若为实向量空间 若 F F为复数域 称为复数域 称V V为复向量空间 空间为复向量空间 空间V V中的中的 元素统称为元素统称为向量向量 6 6 数乘结合律 数乘结合律 kl kl k l k l k l k l F F 7 7 数乘分配律 数乘分配律 k l k l k k l l 8 k k k 8 k k k 例例1 1 一般实数域一般实数域R R上的上的n n维坐标向量集合构维坐标向量集合构 成的空间记为成的空间记为RnRn 复数域 复数域C C上的上的n n维坐标向量维坐标向量 集合的复向量空间记为集合的复向量空间记为Cn Cn 特别特别n 1 n 1 即全
3、体实即全体实 数数 复数复数 集合集合R R 对通常的加法和数乘运算构 对通常的加法和数乘运算构 成一个成一个实实 复复 向量空间向量空间 向量空间有向量空间有如下性质如下性质 1 1 向量空间的零元素是唯一的 向量空间的零元素是唯一的 2 2 向量空间的任一元素的负元素是唯一的向量空间的任一元素的负元素是唯一的 3 0 3 0 0 0 左边的左边的0 0为数零 为数零 k0 0 kk0 0 k为数 为数 1 1 4 4 若若k k 0 0 则则k 0k 0或或 0 k 0 k为数为数 5 1 2 5 1 2 子空间子空间 定义定义2 2 设设W W是向量空间是向量空间V V的一个非空子集合 的一个非空子集合 若若W W中所有元素对中所有元素对V V中定义的加法和数乘运算中定义的加法和数乘运算 也构成一个向量空间 称也构成一个向量空间 称W W是是V V的一个子空间的一个子空间 例如例如 R3R3中 过原点的平面是中 过原点的平面是R3R3的子空间 的子空间 过原点的直线是平面的子空间 也是过原点的直线是平面的子空间 也是R3R3的子的子 空间空间 判别一个集合是否为向量空间 需要判判
4、别一个集合是否为向量空间 需要判 别加法和数乘运算的封闭性及满足八条法则别加法和数乘运算的封闭性及满足八条法则 但判别空间的子集合 但判别空间的子集合WW是否构成子空间 是否构成子空间 则只要用到加法和数乘的封闭性就行了则只要用到加法和数乘的封闭性就行了 定理定理1 1 设设W W是向量空间是向量空间V V的非空子集合 的非空子集合 W W 是子空间的充要条件是是子空间的充要条件是 1 1 W W 则则 W W 2 k 2 k F F W W 则则k k W W 上面两条件缩写为上面两条件缩写为k1k1 k2 k2 W W 即满足加法即满足加法 与数乘的封闭性与数乘的封闭性 以下给出定理1的证明 证明证明 必要性若 必要性若W W为子空间 则上述两条件为子空间 则上述两条件 显然成立显然成立 充分性若上面两条件成立 即充分性若上面两条件成立 即WW中 加法中 加法 和数乘运算封闭和数乘运算封闭 因为因为WW的元素是向量空间的的元素是向量空间的 元素 故定义元素 故定义1 1中的运算法则中的运算法则 1 1 2 2 5 5 6 6 7 7 8 8 都满足都满足 只要验证只要验证 3 3
5、4 4 由于由于 W kW k W W 可取可取k 0k 0 则 则 0 0 0 0 W W 满足满足 3 3 式式 再取再取k 1 1 k 1 1 W W 满足满足 4 4 式式 故故WW是一个向量子空间是一个向量子空间 由于向量空间是由于向量空间是RnRn空间的推广 所以前面空间的推广 所以前面 介绍的介绍的n n维向量组的线性相关性 极大无关组维向量组的线性相关性 极大无关组 秩 等价等概念及一些有关的性质都可平 秩 等价等概念及一些有关的性质都可平 移到一般的向量空间中来 以后将直接引用移到一般的向量空间中来 以后将直接引用 这些概念和性质这些概念和性质 5 2 5 2 向量向量空间的基与维数空间的基与维数 除了零空间外 一般的向量空间都有无除了零空间外 一般的向量空间都有无 穷多个向量穷多个向量 我们希望能我们希望能找到尽可能少的有限找到尽可能少的有限 个向量或部分向量来表示一个空间的任一个个向量或部分向量来表示一个空间的任一个 向量向量 定义定义 设设 1 1 2 2 n n 是向量空间是向量空间V V的的n n个个 向量 若向量 若 1 1 1 1 2 2 n n 线性无
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