1983-1990年威斯康星数学科学和工程天赋探索175道竞赛选拔题(含答案)
103页1、目 录 威斯康星数学科学与工程天赋探索 1983 1984 01 威斯康星数学科学与工程天赋探索 1983 1984 参考答案 06 威斯康星数学科学与工程天赋探索 1984 1985 15 威斯康星数学科学与工程天赋探索 1984 1985 参考答案 20 威斯康星数学科学和工程天赋探索 1985 1986 30 威斯康星数学科学和工程天赋探索 1985 1986 参考答案 35 威斯康星数学科学和工程天赋探索 1986 1987 45 威斯康星数学科学和工程天赋探索 1986 1987 参考答案 50 威斯康星数学科学和工程天赋探索 1987 1988 60 威斯康星数学科学和工程天赋探索 1987 1988 参考答案 65 威斯康星数学科学和工程天赋探索 1988 1989 75 威斯康星数学科学和工程天赋探索 1988 1989 参考答案 80 威斯康星数学科学和工程天赋探索 1989 1990 88 威斯康星数学科学和工程天赋探索 1989 1990 参考答案 93 威斯康星数学科学与工程天赋探索威斯康星数学科学与工程天赋探索 1983 1984 第第 I 组组 1 一只乌鸦
2、从其巢飞出 飞向其巢北 10 里东 7 里的一点 在该点它发现有一个稻草人 所以就转向再向北 4 里东 5 里的地方飞去 在那里它吃了一些谷物后立即返巢 乌鸦所飞的途径构成了一个三角形 因为假设乌鸦 总是沿直线飞行的 试求这个三角形的面积 2 求分数 a b 其中 a 和 b 都是正整数 使得 5 9 a b 4 7 且 b 要尽可能地小 检验答案 3 四个城市 A B C 和 D 位于一个 30 里 40 里的矩形的角上 它们由一个笔直的公路组成的网络相联 如图所示 一运输公司希望派出一辆卡车沿一条路线传送货物 此路线可以使其从任一城市到达任意另外的城 市 能达到这个目的的最短路线有多长 证明答案 4 在一张大纸的一角印有一个小矩形 我们希望把这张纸的一角切下去以去掉矩形 且我们想用直尺沿某条直 线 AB 把此角切下 证明切下去的纸的面积至少有矩形的两倍 并指明切法 5 在五位数中有多少数至少有两位的数字相等 其中有多少数能被 10 整除 阐述你是如何得到答案的 1 第第 II 组组 1 在从 1984 年 1 月 1 日开始往后的 7000000 年这一阶段内 将有 8400000
3、0 个月 而每个月的 13 日将一周 七天中的一天 所以 似乎看来在这个阶段内将有 1 7 84000000 12000000 个星期五是 13 日 如果假定在这 段时间内年历不变 那么在 7000000 年内刚好有 12000000 个星期五是 13 日这个断言对不对 检验答案 2 一个多边形称为是凸的 如果其所有内角都 n 且 x 和 y 互素的条件下证明所有数 1 xy 的和为 1 例如 当 n 4 时 1 1 4 1 2 3 1 3 2 1 3 4 1 4 1 1 4 3 1 5 威斯康星数学科学与工程天赋探索 参考答案 威斯康星数学科学与工程天赋探索 参考答案 1983 1984 第第 I 组组 1 一只乌鸦从其巢飞出 飞向其巢北 10 里东 7 里的一点 在该点它发现有一个稻草人 所以就转向再向北 4 里东 5 里的地方飞去 在那里它吃了一些谷物后立即返巢 乌鸦所飞的途径构成了一个三角形 因为假设乌鸦 总是沿直线飞行的 试求这个三角形的面积 解解乌鸦吃东西的地方 C 点在其巢东 12 里北 14 里的地方 设 X 为巢正北 14 里的一个点 所以 NXC 是一个直角三角形
4、面积为 1 2 14 12 84 平方里 由 84 平方里减去 XCS 和 XNS 的面积就可求得 NSC 的面积 当然 S 就是稻草人所在的地方 如果我们取 XC 12 里作为 XCS 的底 则此三角形的高是 4 里 所以其面积为 24 平方里 类似地取 XN 14 里为 XNS 的底 则高为 7 里 其面积为 49 平方里 因此推得 NSC 的面积为 84 24 49 11 平方里 2 求分数 a b 其中 a 和 b 都是正整数 使得 5 9 a b 4 7 且 b 要尽可能地小 检验答案 解解答案是 9 16 且可用 尝试法 进行检验 首先 我们有 5b 9a 又既然 a 和 b 都是正整数 我们有 5b 1 9a 还有 7a 4b 因而 7a 4b 1 现在我们有 9 4b 1 63a 7 5b 1 这祥便有 36b 9 35b 7 即 b 16 若取 b 16 不等式就变成 9a 81 和 7a 63 所以 a 9 因而 9 16 满足要求 且不再存在分母更小的分 数 也不再存在以 16 为分母的其它分数满足要求 3 四个城市 A B C 和 D 位于一个 30 里 40
5、里的矩形的角上 它们由一个笔直的公路组成的网络相联 如图所示 一运输公司希望派出一辆卡车沿一条路线传送货物 此路线可以使其从任一城市到达任意另外的城 市 能达到这个目的的最短路线有多长 证明答案 6 解解假定我们有一路线满足条件 当然卡车必需去每个城市至少一次 事实上 不去二次的城市至多只有一 个 如果有两个这样的城市在它们之间可以只需沿单向送货 由此推出卡车必须至少停七次 起点和终点算在 内 所以它必须走至少六段路 因为可以从 A 送货到 B 整个路程的某一段在地图上从左向右穿过 所以其长度 40 里 类似地至少有一段路程从右到左 而它的长也是 40 里长 我们知道整个路程至少有六段 而且其中二段之和至少长达 80 里 当然 其余每一段 其中至少四段 至少 有 30 里 所以整个行程必 2 40 4 30 200 里 这里有一个满足要求的 200 里的线路 ADCBCDA 我们已证明 再没有更短的了 4 在一张大纸的一角印有一个小矩形 我们希望把这张纸的一角切下去以去掉矩形 且我们想用直尺沿某条直 线 AB 把此角切下 证明切下去的纸的面积至少有矩形的两倍 并指明切法 证明证明在原矩
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