泰勒展开

1、1泰勒展開泰勒展開 1 1多項式逼近的基本概念與方法多項式逼近的基本概念與方法 多項式是一個很棒的函數 好處之一是它可以微分無限多次 這種函數 應該發予良民證 實在太棒了 不過就這點而言還不夠特別 指數函數 三角函數也都可以發予良民證 多項式還有一個好處是比較好代值 譬如說 p x x23 5x18 7x11 6x3 8 如果我們要算 p 3 01 很煩 但起碼還能算 那如果是遇到其它 函數呢 譬如說 sin 1 就不會算那麼久了 因為根本不會 數學上常常是化繁為簡 化未知為已知 所以就有個想法 當我遇到一 個函數 f x 的時候 可不可以寫出一個多項式 p x 是可以跟它非常接近 的呢 或者至少 在我要算的點的附近是很接近的 譬如說剛剛的 sin 1 如果我的多項式只能在 1 2 上跟 sin x 很接近 那其實也夠用了 待我 將這個多項式寫出來之後 凡是在這所謂的 附近 裡面 我就可以將原 本想對 f x 做的事情 改對 p x 做 舉凡加 減 乘 除 次方 代入 微分 積分等等 所以當然 這個 附近 的範圍 能越大就越好 舉 個 例 子 右 圖 中 藍 色 曲 線 是 f x x

2、3 6x2 9x 3 1 58x 它並不是多項式 現在 我找到一個三次多項式 p x 12 241687 8 2648x 1 7988x2 0 1065x3 在圖中是綠色 曲線 它與 f x 在 x 3 的附近還蠻接近的 幾乎沒什麼分別 離 x 3 遠一點之後 兩條 曲線才越差越多 千萬不要被我的例子的函數 長相嚇到了 在後面我們並不需要找出長這麼 醜的多項式 Figure 1 以多項式逼近函數 牛頓在處裡某些函數時 用了一些技倆寫出冪級數來逼近 1 後來他的 1事實上 在微積分草創時期 除了牛頓也有其它許多數學家諸如 Gregory 萊布尼 茲 John Bernoulli 隸美弗等等都寫出某些函數的冪級數逼近 1 一個學生 Brook Taylor 在 1715 年時 提出一般性的理論 探討求出一 個函數的多項式逼近的一般方法 如果我們現在想找個 p x 在 x a 的附近去逼近 f x 這個逼近的想 法是這樣的 首先 兩個函數值 f a 與 p a 當然希望能一樣 接著 假 如 f x 可以微分的話 如果它們在 x a 這個地方的切線斜率也能夠一 樣 那麼這兩個就更接近了 也就是

3、說 f a p a 這叫做一階切近 再來 假如 f x 可以微分兩次 如果又有 f a p x 那麼這兩個就又 更接近了 這叫做二階切近 以此類推 得寸進尺 只要 f x 能夠微分 k 次 我都希望 f k x 與 p k x 能夠相等 這叫做 k 階切近 如果 f x 在 x a 處可以微分無限多次的話 那我就希望寫一個冪級數 可以與 f x 在 x a 處的任意階微分都相等 k 階切近 f x p x f a p a f a p a fk a fk a 按照這個想法 便可以將一個無限可微的函數 f x 在 x a 處展開成 f x f a f a x a f a 2 x a 2 f n a n x a n n 0 f n a n x a n 1 它的一般項形式是 fn a n x a n 為什麼會這樣呢 為了檢驗等號右邊的確 就是我們理想中的 p x 我們試著在等號右邊代 x a 微分之後代 x a 微分兩次之後代 x a 看看是否各自等於 f a f a f a 直 接代 a 一次項以上全部都有 x a 所以代入以後全是零 只剩 f a 接 著我們對等號右邊先微分一次 此時常數項

4、 f a 微分後不見了 至於二次 2 項以上 微完都至少還有一個 x a 所以在微完之後代 a 時 它們也全 跟著不見了 所以只剩一次項 而一次項 f a x a 微分一次以後 也成 為常數 就是 f a 我們直接跳去看微分 n 次後代 a 微分 n 次以後所有 n 1 次以下的項全部變成零 而 n 1 次以上的項 在微分完以後全部都 還有至少一個 x a 所以在微完之後代 a 時 它們也全跟著不見了 所 以只剩 n 次項 而 n 次項 f n a n x a n微分 n 次以後 也成為常數 值 是多少呢 因為微分 n 次以後會乘以 n 2 所以就是 f n a n n f n a 在以上的檢驗過程中 你大概就能明白為什麼一般項長那樣了 擺個 n 在 分母就是特意要拿來消的 現在知道用 k 階切近的辦法來將函數展開成多項式了 刻不容緩 我們 馬上來試刀吧 試求 ex的馬克勞林展開 所謂的馬克勞林 Maclaurin 展開 意思只不過是在 x 0 處的泰勒展 開 也就是說 f x f 0 f 0 x f 0 2 x2 f n 0 n xn 2 我們想要寫出這個出來 就必須知道 ex在的各

5、階微分代 0 之後是多少 不 過這太容易了 ex不管怎麼微分都還是 ex 代 0 以後就是 1 於是有 ex 1 x x2 2 x3 3 xn n n 0 xn n 2微分第一次會乘以 n 微分第二次乘以 n 1 微分第三次乘以 n 2 3 試求 sin x 的馬克勞林展開 sin x 的高階微分具有規律 f x sin x f x cos x f x sin x f 3 x cos x f 4 x sin x f 5 x cos x 再配合 sin 0 0 cos 0 1 便易知 sin x x x3 3 x5 5 x7 7 n 0 1 nx2n 1 2n 1 cos x 的情況十分類似 你就自己動手寫吧 ex與 sin x 及 cos x 的高階微分都有很簡單的規律 所以用一般的方 法寫出馬克勞林展開都是很容易的 而且收斂區間都是整個實數 R 3 所 以就算代一百萬 兩邊也是相等的 現在我們來檢查一件事 我剛剛說 只要在收斂區間內 本來想對 f x 做的一些事 可以改對 p x 做 我們 知道 ex微分後是自己 於是我們將 1 x x2 2 x3 3 xn n 作 逐項微分 得到

6、0 1 x x2 2 x3 3 xn n 3判斷收斂區間的方法留待後面介紹 4 真的等於自己 我們再檢查 sin x 的微分是 cos x 將 x x3 3 x5 5 x7 7 作 逐項微分 得到 1 x2 2 x4 4 x6 6 果然就是 cos x 的展開 式子 1 好用在它具有一般性 一般而言 只要 f x 能夠微分 k 次 我 就可以照著操作寫出一個 k 次多項式來逼近它 卻不代表我們只能這樣 做 有時候用這個方法會因為高階微分不太好寫而變得較為繁複 事實上 我們還是可以根據各種不同函數的不同長相 用一些特殊的方 法來寫出逼近多項式出來 在 Brook Taylor 於 1715 年提出他的理論以前 那些十七世紀的微積分先鋒們就各自寫出 sin x cos x arctan x 等等函 數的展開 各自用了些奇奇怪怪的辦法 不過放心 在此我們只介紹些基 本的辦法 譬如說 1 1 x 除了用那個一般的做法外 也可直接寫出 1 x x2 x3 xn n 0 xn 為什麼呢 因為這就是無窮等比級數的和呀 從此還得知了 收斂區間就 是 1 x 1 4 那麼 1 1 2x 呢 把它看成 1

7、 1 2x 就可以了 也就是說 將 2x 代 在 1 1 x 中的 x 裡面 於是就成為 1 2x 2x 2 1 n2nxn n 0 1 n2nxn 至於收斂區間的問題 我們也將 2x 代入 1 x 1 得到 1 2x 1 接著再化簡成 1 2 x 1 2 4公比的絕對值要小於 1 5 至於 ln 1 x 呢 我們知道它的微分是 1 1 x 所以我們先寫出 1 x x2 x3 n 0 1 nxn 然後作逐項積分 得到 C x x2 2 x3 3 C n 0 1 nxn 1 n 1 為了決定 C 是多少 我們代 x 0 得到 ln 1 0 0 C 0 0 所 以 C 0 於是 ln 1 x n 0 1 nxn 1 n 1 n 1 1 n 1xn n 5 至於收斂區間的問題 原本 1 1 x 的收斂區間是 1 x 1 我們是 拿它作積分來的 所以範圍大致沒變 唯有端點可能發生改變 變成 1 x 1 6 如果你想知道為什麼會多個 1 你可以將 1 代入冪級數 得 到 n 1 1 n 1 n 交錯級數收斂 7 那如果是 sin x cos x 呢 可以先各自展開再相乘 也可以看成 sin 2x

8、 2 所以從 sin x 的展開用 2x 代 然後整個除以 2 便有 1 2 2x 23x3 3 x 22x3 3 那如果是 arctan x 怎麼辦呢 它的微分是 1 1 x2 嘛 所以我們先寫出 1 x2 x4 n 0 1 n 1x2n 5這裡對足碼做了一點平移 新的 n 是舊的 n 加上 1 原來的 n 從 0 開始 那麼新的 n 就會從 1 開始 而 1 n 1若改寫成 1 n 1亦可 畢竟 1 2 1 6不包含 1 是顯而易見的 因為代入 ln 1 x 會變成 ln0 然而對數裡必須是正的 7一般來說 冪級數收斂不代表它就會收斂到函數 後面會再談這部份 6 然後做逐項積分 得到 C x x3 3 x5 5 C n 0 1 nx2n 1 2n 1 為了決定 C 是多少 我們代 x 0 得到 arctan 0 C 0 0 所以 C 0 所以 arctan x 的展開就是 x x3 3 x5 5 n 0 1 nx2n 1 2n 1 接著各自將 1 和 1 代入冪級數 都有交錯級數收斂 因此收斂區間也是 從原本的 1 x 1 變成 1 x 1 那如果是 1 x 又怎麼辦呢 它就是 1

9、 x 1 2 高中曾學過二項式定理 x y n Cn 0y n Cn 1y n 1x Cn 2y n 2x2 Cn nx n 3 你如果在其它 書看到 n k 其實它不過是 Cn k 的另一種 寫法 若 y 1 就是 x 1 n Cn 0 Cn 1x C n 2x 2 Cn nx n 那是用在次方 n 是正整數的情況 我們現在次方不是正整數 也可以用 嗎 牛頓在處理這問題的時候 將二項式定理推廣了 所以答案是可以 的 所以我重寫一次 x 1 C 0 C 1x C 2x 2 4 這對任何實數 都成立 這樣你可能產生一個問題 像 C 1 2 3 該如何計算 回想一下 C7 3 7 6 5 1 2 3 推廣方法就是照著寫 C 1 2 3 1 2 1 2 3 2 1 2 3 1 16 7 從這推廣方法也可得知 本來式子 3 的寫法會停在 Cn nx n 但次方非正整數 的時候 式子 4 可以一直寫下去 無窮多項 於是我們現在就來處理 1 x 寫成 1 x 1 2 C 1 2 0 C 1 2 1x C 1 2 2x 2 C 1 2 3x 3 前兩項的係數都不須特地算 因為任何數取 0 都是 1

10、任何數取 1 都是自 己 另外算一下 C 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 8 C 1 2 3 1 2 1 2 3 2 1 2 3 1 16 假如你還要繼續多算幾項的話 其實不須要慢慢寫 只要每次都在分子分 母各補一項就好了 以 C 1 2 4 為例 C 1 2 4 1 2 1 2 3 2 5 2 1 2 3 4 1 5 2 16 4 以此類推 要計算 C 1 2 5 時 就分子補上 7 2 分母補上 5 所以 1 x 1 2 1 x 2 x2 8 x3 16 n 0 C 1 2 nx n 至於 arcsin x 它的微分是 1 1 x2 我們可以先做 1 t 1 2的展開 1 t 2 C 1 2 2 t2 C 1 2 3 t3 1 t 2 3t2 8 5t3 16 接著代 t x2 8 便有 1 x2 2 x4 8 5x6 16 8我先用 t 展開 之後才代回 x2 只是想先慢慢寫給你看 實際上你如果處理得來的 話 可以不必分成這兩步 8 好啦 接著可以做逐項積分啦 C x x3 2 3 x5 8 5 5x7 16 7 代 x 0 得到 arcsin 0 0 C 0 0 所以

《泰勒展开》由会员共***分享，可在线阅读，更多相关《泰勒展开》请在金锄头文库上搜索。