THUSSAT中学生标准学术能力诊断性测试2020年1月诊断性测试理科数学试卷(含答案)
14页1、 中学生标准学术能力诊断性测试中学生标准学术能力诊断性测试 2020 年年 1 月测试月测试 理科数学试卷 一卷 理科数学试卷 一卷 本试卷共本试卷共 150 分 考试时间分 考试时间 120 分钟 分钟 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的 1 若集合 12Axx 2 0 1 2B 则AB A B 0 1 C 0 1 2 D 2 0 1 2 2 若 2 5i z 则z的虚部为 A 1 B 1 C i D i 3 已知双曲线 22 2 10 2 xy b b 的两条渐近线互相垂直 则b A 1 B 2 C 3 D 2 4 由两个 1 4 圆柱组合而成的几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 A 3 B 2 C D 2 5 函数 x exxxf 2 2 的图象可能是 A B C D 6 已知关于x的不等式 2 230axxa 在 0 2 上有解 则实数a的取值范围是 A 3 3 B 4 7 C 3 3 D 4
2、7 7 已知a b为实数 则01ba 是loglog ab ba 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 俯视图 侧视图 正视图 1 1 2 2 第 4 题图 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 8 已知随机变量 的分布列如下表所示 则 A EEDD B EEDD C EEDD D EEDD 9 在ABC 中 若2AB BCBC CACA AB 则 AB BC A 1 B 2 2 C 3 2 D 6 2 10 在矩形ABCD中 已知3 4ABAD E是边BC上的点 1EC EFCD 将平面EFDC绕EF旋转 90后记为平面 直线AB绕AE旋转一周 则旋转过程中直线AB与平面相 交形成的点的轨迹是 A 圆 B 双曲线 C 椭圆 D 抛物线 第 10 题图 11 已知函数 ln1 2 1 2 i f xxxm i e是自然对数的底数 存在Rm A 当1 i时 f x零点个数可能有 3 个 B 当1 i时 f x零点个数可能有 4 个 C 当2 i时 f x零点个数可能有 3 个 D 当2 i时 f x零点个数可能有 4 个 12 已知数列 n a的前n项和为 n S 且满足 2 1
3、 nnn aSa 则下列结论中 数列 2 n S是等差数列 2 n an 1 1 nn a a A 仅有 正确 B 仅有 正确 C 仅有 正确 D 均正确 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分 分 13 1742 年 6 月 7 日 哥德巴赫在给大数学家欧拉的信中提出 任一大于 2 的偶数都可写成两个质 数的和 这就是著名的 哥德巴赫猜想 可简记为 1 1 1966 年 我国数学家陈景润证明了 1 2 3 1 2 3 1 6 1 2 1 3 P 1 3 1 2 1 6 P 1 2 获得了该研究的世界最优成果 若在不超过 30 的所有质数中 随机选取两个不同的数 则两数之和不超过 30 的概率是 14 已知ABC 的面积等于1 若1BC 则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时 sin A 15 已知F是椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的一个焦点 P是C上的任意一点 则FP称为椭圆C 的焦半径 设C的左顶点与上顶点分别为AB 若存在以A为圆心 FP为半径长的圆经过点 B 则椭圆C的离心率的最小值为 16 设函数 3
4、2 6 f xxxaxb 若对任意的实数a和b 总存在 3 0 0 x 使得 mxf 0 则实数m的最大值为 三 解答题 共三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 每个试 题考生都必须作答 第 题为必考题 每个试 题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 一 必考题 60 分 分 17 12 分 已知角 的顶点与原点O重合 始边与x轴的非负半轴重合 终边经过点 1 3 P 1 求cos 2 的值 2 求函数 22 sin cos Rf xxxx 的最小正周期与单调 递增区间 18 12 分 如图 多面体ABCDFE中 四边形ABEF和四边形CDFE是 两个全等的菱形 2 AB 60 ECDBAF 1 求证 DCBD 2 如果二面角BEFD 的平面角为 60 求直线BD与平面BCE所 成角的正弦值 第 18 题图 19 12 分 已知等比数列 n a的公比1 q 且42 531 aaa 9 3 a是 1 a 5 a的等差中项
5、数列 n b的通项公式 11 2 1 nn n n aa b Nn 1 求数列 n a的通项公式 2 证明 12 1 21 n n bbb Nn 20 12 分 已知抛物线 2 2 0 C xpy p 焦点为F 准线与 y 轴交于点 E 若点 P 在 C 上 横 坐标为 2 且满足 PFPE2 1 求抛物线C的方程 2 若直线PE交x轴于点Q 过点Q做直线l 与抛物线C有 两个交点 M N 其中 点M在第一象限 若QMMN 当 2 1 时 求 OMP ONP S S 的取值范围 第 20 题图 21 12 分 已知函数 1 1 x f xxe 1 求 f x在点1 1 f 处的切线方程 2 若方程 f xb 有两个实数根 21 x x 且 21 xx 证明 113 1 1 12 e eb e eb xx 二 选考题 共 二 选考题 共 10 分 请考生在第分 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计 分 作答时请写清题号 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计 分 作答时请写清题号 22 选修 4 4 极坐标与参数方程 10 分 1 以极坐标系Ox
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