现代电路理论与设计：数字通信技术第10章

1、17 27 24 1 第十章信道编码和差错控制 10 1概述信道编码 目的 提高信号传输的可靠性 方法 增加多余比特 以发现或纠正错误 差错控制 包括信道编码在内的一切纠正错误手段 产生错码的原因 乘性干扰引起的码间串扰加性干扰引起的信噪比降低信道分类 按照加性干扰造成错码的统计特性不同划分随机信道 错码随机出现 例如由白噪声引起的错码突发信道 错码相对集中出现 例如由脉冲干扰引起的错码 混合信道 既存在随机错码又存在突发错码 17 27 24 2 差错控制技术的种类 检错重发 能发现错码 但是不能确定错码的位置 通信系统需要有双向信道 检错删除 在接收端发现错码后 立即将其删除 适用在发送码元中有大量多余度 删除部分接收码元不影响应用之处 反馈校验 将收到的码元转发回发送端 将它和原发送码元比较 缺点 需要双向信道 传输效率也较低 前向纠错 FEC 利用加入的差错控制码元 不但能够发现错码 还能纠正错码 17 27 24 3 差错控制编码 常称为纠错编码监督码元 上述4种技术中除第3种外 都是在接收端识别有无错码 所以在发送端需要在信息码元序列中增加一些差错控制码元 它们称为监督码元

2、 不同的编码方法 有不同的检错或纠错能力 多余度 就是指增加的监督码元多少 例如 若编码序列中平均每两个信息码元就添加一个监督码元 则这种编码的多余度为1 3 编码效率 简称码率 设编码序列中信息码元数量为k 总码元数量为n 则比值k n就是编码效率 冗余度 监督码元数 n k 和信息码元数k之比 理论上 差错控制以降低信息传输速率为代价换取提高传输可靠性 17 27 24 4 编码序列的参数n 编码序列中总码元数量k 编码序列中信息码元数量r 编码序列中差错控制码元数量 差错控制码元 以后称为监督码元或监督位 k n 码率 编码效率 n k k r k 冗余度r n 多余度 17 27 24 5 自动请求重发 ARQ 系统 AutomaticRepeateQuest 停止等待ARQ系统 数据按分组发送 每发送一组数据后发送端等待接收端的确认 ACK 答复 然后再发送下一组数据 图中的第3组接收数据有误 接收端发回一个否认 NAK 答复 这时 发送端将重发第3组数据 特点 工作在半双工状态 时间没有得到充分利用 传输效率较低 17 27 24 6 拉后ARQ系统 发送端连续发送数据组

3、接收端对于每个接收到的数据组都发回确认 ACK 或否认 NAK 答复 例如 图中第5组接收数据有误 则在发送端收到第5组接收的否认答复后 从第5组开始重发数据组 在这种系统中需要对发送的数据组和答复进行编号 以便识别 显然 这种系统需要双工信道 17 27 24 7 选择重发ARQ系统 它只重发出错的数据组 因此进一步提高了传输效率 17 27 24 8 ARQ系统的原理方框图 在发送端 输入的信息码元在编码器中被分组编码 加入监督码元 后 除了立即发送外 还暂存于缓冲存储器中 若接收端解码器检出错码 则由解码器控制产生一个重发指令 此指令经过反向信道送到发送端 由发送端重发控制器控制缓冲存储器重发一次 接收端仅当解码器认为接收信息码元正确时 才将信息码元送给收信者 否则在输出缓冲存储器中删除接收码元 当解码器未发现错码时 经过反向信道发出不需重发指令 发送端收到此指令后 即继续发送后一码组 发送端的缓冲存储器中的内容也随之更新 17 27 24 9 ARQ的主要特点 与前向纠错比较优点监督码元较少 即码率较高检错的计算复杂度较低能适应不同特性的信道缺点需要双向信道不适用于一点到多点的

4、通信系统或广播系统传输效率降低 可能因反复重发而造成事实上的通信中断在要求实时通信的场合 例如电话通信 往往不允许使用ARQ法 17 27 24 10 10 2纠错编码的基本原理分组码举例设 有一种由3位二进制码元构成的编码 它共有23 8种不同的可能码组 可以表示8种不同天气 000 晴011 云101 阴110 雨100 雪001 霜010 雾111 雹其中 若一个码组中发生错码 则将变成另一个信息码组 这时 接收端将无法发现错误 若在此8种码组中仅允许使用4种来传送天气 例如 000 晴011 云101 阴110 雨为许用码组 其他4种不允许使用 称为禁用码组 这时 接收端有可能发现 检测到 码组中的一个错码 例 000 晴 中错了一位 变成 100 或 010 或 001 这种编码只能检测错码 不能纠正错码 若规定只允许用两个码组 例如000 晴111 雨就能检测两个以下错码 或纠正一个错码 17 27 24 11 分组码概念将信息码分组 为每组信息码附加若干监督码的编码称为分组码 即分组码 信息位 监督位在分组码中 监督码元仅监督本码组中的信息码元 分组码符号 n k 其中

5、n 码组总长度 k 信息码元数目 r n k 监督码元数目 下表中的码组为 3 2 码 17 27 24 12 分组码的一般结构 分组码的参数 码重 码组内 1 的个数 例 101 的码重是2码距 两码组中对应位取值不同的位数 又称汉明距离 例 000 晴 011 云 101 阴 110 雨 4个码组之间 任意两个的距离均为2最小码距 d0 各码组间的最小距离 17 27 24 13 码距的几何意义 以n 3的编码为例每个码组的3个码元值 a1 a2 a3 就是此立方体各顶点的坐标 码距是对应于图中各顶点之间沿立方体各边行走的几何距离 例 000 晴 011 云 101 阴 110 雨 4个码组之间 任意两个的距离均为2一般而言 码距是n维空间中单位正多面体顶点之间的汉明距离 17 27 24 14 码距和检纠错能力的关系一种编码的纠检错能力 决定于最小码距d0的值 为了能检测e个错码 要求最小码距为为了能纠正t个错码 要求最小码距 17 27 24 15 为了能纠正t个错码 同时检测e个错码 要求最小码距纠检结合工作方式 当错码数量少时 系统按前向纠错方式工作 以节省重发时间 提高传

6、输效率 当错码数量多时 系统按反馈重发的纠错方式工作 以降低系统的总误码率 利用码距进行纠错和检错的设计 例 已知一种二进制分组编码的码长n 10 其汉明距离为8 若用于FEC 则纠正错码的能力为 若用于ARQ 则检错的能力为 若用于混合纠检错 要求纠正1位错码 则最大可以检测位错码要求检测4位错码 则可以纠正位错码若已知物理信道传输误码率为10 3 为了使得重传率小于10 5 试设计混合纠检错方案为了使得残留误码率小于10 5 试设计最佳的通信方案 17 27 24 17 10 3纠错编码系统的性能10 3 1误码率性能和带宽的关系采用编码降低误码率所付出的代价是带宽的增大 A与B点 相同的接收信噪比下误码率降低约一个半数量级 17 27 24 18 10 3 2功率和带宽的关系采用编码以节省功率 并保持误码率不变 付出的代价也是带宽增大 C与D点 相同的误码率下 编码后输入信噪比可降低约2dB 即可以节省功率2dB 通常称这2dB为编码增益 17 27 24 19 10 3 3传输速率和带宽的关系对于给定的传输系统 其传输速率和Eb n0的关系 式中 RB 码元速率 提高传输速率

7、采用编码以保持误码率不变 付出的代价仍是带宽增大 提高码元速率后由C点升到E点 信噪比下降 误码率增大 用纠错编码后 将误码率降到D点 这时付出的代价仍是带宽增大 17 27 24 20 10 3 4编码增益定义 在保持误码率恒定条件下 采用纠错编码所节省的信噪比Eb n0称为编码增益 式中 Eb n0 u 未编码时的信噪比 dB Eb n0 c 编码后所需的信噪比 dB 17 27 24 21 10 4奇偶监督码10 4 1一维奇偶监督码奇偶监督码 分为奇数监督码和偶数监督码两类 在奇偶监督码中 监督位只有1位 故码率等于k k 1 偶数监督码中 此监督位使码组中 1 的个数为偶数 式中 a0为监督位 其他位为信息位 奇数监督码中 此监督位使码组中 1 的个数为奇数 17 27 24 22 检错能力 能够检测奇数个错码 设 码组长度为n 码组中各个错码的发生是独立的和等概率的 则在一个码组中出现j个错码的概率为式中 为在n个码元中有j个错码的组合数 奇偶监督码不能检测码组中出现的偶数个错码 所以在一个码组中有错码而不能检测的概率等于 当n为偶数时 当n为奇数时 17 27 24 23

8、 例 右表中的编码是偶数监督码 设信道的误码率为10 4 错码的出现是独立的 试计算其不能检测的误码率 将给定条件代入式计算得出由计算结果可见 此编码可以将误码率从10 4降低到10 8量级 效果非常明显 17 27 24 24 10 4 2二维奇偶监督码码率等于有可能检测偶数个错码适合检测突发错码能够纠正部分错码 例如 一行中有奇数个错码不能检测某些错码 例如 构成矩形四角的错码无法检测 17 27 24 25 10 5线性分组码基本概念代数码 利用代数关系式产生监督位的编码 不一定线性 线性分组码 代数码的一种 其监督位和信息位的关系由线性代数方程决定汉明码 一种能够纠正一个错码的线性分组码校正子 在偶数监督码中 计算实际上就是计算并检验S是否等于0 S称为校正子 监督关系式 17 27 24 26 纠错基本原理中 S只有两种取值 故只能表示有错和无错 而不能进一步指明错码的位置 若此码组长度增加一位 则能增加一个监督关系式 这样 就能得到两个校正子 两个校正子的可能取值有4种组合 即00 01 10 11 故能表示4种不同的信息 若用其中一种组合表示无错码 则还有其它3种组合可以

9、用于指明一个错码的3种不同位置 从而可以有纠错能力 一般而言 若有r个监督关系式 则r个校正子可以指明一个错码的 2r 1 个不同位置 当校正子可以指明的错码位置数目等于或大于码组长度n时 才能够纠正码组中任何一个位置上的错码 即要求 码距 17 27 24 27 汉明码例 要求设计一个能够纠正1个错码的分组码 n k 给定的码组中有4个信息位 即k 4 由要求监督位数r 3 若取r 3 则n k r 7 现在用a6a5a4a3a2a1a0表示这7个码元 用S1S2S3表示校正子 则这3个校正子恰好能够指明23 1 7个错码的位置 若规定校正子和错码位置的关系如下表 则仅当在a6a5a4a2位置上有错码时 校正子S1的值才等于1 否则S1的值为零 这就意味着a6a5a4a2四个码元构成偶数监督关系 同理 有 17 27 24 28 在编码时 信息位a6a5a4a3的值由输入信号决定 它们是随机的 监督位a2a1a0是按监督关系确定的 应该保证上列3式中的校正子等于0 即有给定信息位后 为了计算监督位 上式可以改写为按照上式计算结果如右表所示 17 27 24 29 在接收端解码时 对于

10、每个接收码组 先按式计算出校正子S1 S2和S3 然后按照表判断错码的位置 例 若接收码组为0000011 则按上三式计算得到 S1 0 S2 1 S3 1 这样 由上表可知 错码位置在a3 正确的码组是0001011 17 27 24 30 上例中的汉明码是 7 4 码 其最小码距d0 3 由式可知 此码能够检测2个错码 或纠正1个错码 汉明码的码率 当r 或n 很大时 上式趋近于1 所以汉明码是一种高效编码 17 27 24 31 分组码的一般原理线性分组码的监督位和信息位的关系可以改写为上式中 已经将 简写成 17 27 24 32 监督矩阵上式可以写成矩阵形式 模2 将上式简写为HAT 0T或AHT 0 17 27 24 33 HAT 0T式中 称为监督矩阵监督矩阵的性质监督矩阵H确定码组中的信息位和监督位的关系 H的行数就是监督关系式的数目 即监督位数r H的每行中 1 的位置表示相应的码元参与监督关系 H可以分成两部分 例如 典型监督矩阵式中 P为r k阶矩阵 Ir为r r阶单位方阵 A a6a5a4a3a2a1a0 0 000 17 27 24 34 H矩阵的各行应该是线

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