2020年福建省福州市高考数学一模试卷（理科）

1、第 1 页 共 18 页 高考数学一模试卷 理科 高考数学一模试卷 理科 题号 一二三总分 得分 一 选择题 本大题共 12 小题 共 60 0 分 1 若复数 z 满足 zi 1 i 则 z 的共轭复数是 A 1 iB 1 iC 1 iD 1 i 2 已知集合 A x 2x 1 3 B x x2 x 2 0 则 A B A x 1 x 2 B x 1 x 1 C x 2 x 1 或 x 1 D x x 1 3 中国传统文化是中化民族智慧的结晶 是中化民族的历史遗产在现实生活中的展现 为弘扬中华民族传统文化 某校学生会为了解本校高一 1000 名学生的课余时间 参加传统文化活动的情况 随机抽取 50 名学生进行调查 将数据分组整理后 列 表如下 参加场数01234567 参加人数占调查人数的百分 比 8 10 20 26 18 m 4 2 以下四个结论中正确的是 A 表中 m 的数值为 10 B 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于 2 场的学生约为 180 人 C 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于 4 场的学生约为 360 人 D 若采用系统抽样方法进行调查 从该校高

2、一 1000 名学生中抽取容量为 50 的样 本 则分段间隔为 25 4 等比数列 an 的各项均为正实数 其前 n 项和为 Sn 若 a3 4 a2a6 64 则 S5 A 32B 31C 64D 63 5 已知 且 则 A 0B C 1D 6 设抛物线 y2 4x 的焦点为 F 准线为 l P 为该抛物线上一点 PA l A 为垂足 若 直线 AF 的斜率为 则 PAF 的面积为 A B C 8D 7 如图 网格纸上的小正方形的边长为 1 粗实线画出的是某 几何体的三视图 则该几何体的体积为 A 32 B 16 C D 第 2 页 共 18 页 8 已知函数 f x 2sin x 图象的相邻两条对称轴之间的距离 为 将函数 f x 的图象向左平移 个单位长度后 得到函数 g x 的图象 若函 数 g x 为偶函数 则函数 f x 在区间上的值域是 A B 1 1 C 0 2 D 1 2 9 已知 g x 为偶函数 h x 为奇函数 且满足 g x h x 2x 若存在 x 1 1 使得不等式 m g x h x 0 有解 则实数 m 的最大值为 A 1B C 1D 10 如图 双曲

3、线 C 1 a 0 b 0 的左 右焦点分别为 F1 F2 过 F2作线段 F2P 与 C 交于点 Q 且 Q 为 PF2的中点 若等腰 PF1F2的底边 PF2的长等于 C 的半焦距 则 C 的 离心率为 A B C D 11 如图 以棱长为 1 的正方体的顶点 为球心 以 为半径做一个球面 则该正方体 的表面被球面所截得的所有弧长之和为 A B C D 12 已知数列 an 满足 a1 1 则 a8 A B C D 二 填空题 本大题共 4 小题 共 20 0 分 13 已知两个单位向量 满足 则 与 的夹角为 14 已知点 A 0 2 动点 P x y 的坐标满足条件 则 PA 的最小值是 15 1 ax 2 1 x 5的展开式中 所有 x 的奇数次幂项的系数和为 64 则正实数 a 的值为 16 已知函数 有且只有一个零点 则实数 a 的取值范围是 第 3 页 共 18 页 三 解答题 本大题共 7 小题 共 82 0 分 17 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 若角 A B C 成等差数列 且 1 求 ABC 的外接圆直径 2 求 a c 的取值范围 18

4、 如图 四棱锥 P ABCD AB CD BCD 90 AB 2BC 2CD 4 PAB 为等边 三角形 平面 PAB 平面 ABCD Q 为 PB 中点 1 求证 AQ 平面 PBC 2 求二面角 B PC D 的余弦值 19 最近 中国房地产业协会主办的中国房价行情网 调查的一份数据显示 2018 年 7 月 大部分一线城 市的房租租金同比涨幅都在 10 以上 某部门研究 成果认为 房租支出超过月收入 的租户 幸福指数 低 房租支出不超过月收入 的租户 幸福指数 高 为了了解甲 乙两小区租户的幸福指数高低 随机抽取甲 乙两小区的租户各 100 户进行调查 甲小区租户的月收入以 0 3 3 6 6 9 9 12 12 15 单位 千元 分组的频率分布直方图如图 所示 乙小区租户的月收入 单位 千元 的频数分布表如下 月收入 0 3 3 6 6 9 9 12 12 15 户数38272492 第 4 页 共 18 页 1 设甲 乙两小区租户的月收入相互独立 记 M 表示事件 甲小区租户的月收 入低于 6 千元 乙小区租户的月收入不低于 6 千元 把频率视为概率 求 M 的 概率 2 利

5、用频率分布直方图 求所抽取甲小区 100 户租户的月收入的中位数 3 若甲 乙两小区每户的月租费分别为 2 千元 1 千元 请根据条件完成下面 的 2 2 列联表 并说明能否在犯错误的概率不超过 0 001 的前提下认为 幸福指数 高低与租住的小区 有关 幸福指数低幸福指数高总计 甲小区租户 乙小区租户 总计 附 临界值表 P K2 k 0 100 0100 001 k2 7066 63510 828 参考公式 20 已知圆 O x2 y2 r2 椭圆 C 的短半轴长等于圆 O 的半径 且过 C 右焦点的直线与圆 O 相切于点 1 求椭圆 C 的方程 2 若动直线 l 与圆 O 相切 且与 C 相交于 A B 两点 求点 O 到弦 AB 的垂直 平分线距离的最大值 21 已知函数 f x g x x2emx 1 e2 1 求函数 f x 的单调区间 2 若 a 0 x1 x2 0 e 不等式 f x1 g x2 恒成立 求实数 m 的取值 范围 第 5 页 共 18 页 22 在直角坐标系 xOy 中 直线 l 的参数方程为 t 为参数 a R 以坐 标原点为极点 x 轴正半轴为极轴建

6、立极坐标系 曲线 C 的极坐标方程为 4cos 射线与曲线 C 交于 O P 两点 直线 l 与曲线 C 交于 A B 两点 1 求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程 2 当 AB OP 时 求 a 的值 23 已知不等式 2x 1 2x 1 4 的解集为 M 1 求集合 M 2 设实数 a M b M 证明 ab 1 a b 第 6 页 共 18 页 答案和解析答案和解析 1 答案 C 解析 解 复数 z 满足 zi 1 i z 1 i 故 1 i 故选 C 由复数 z 满足 zi 1 i 可得 z 从而求出 即可 本题主要考查两个复数代数形式的除法 两个复数相除 分子和分母同时乘以分母的共 轭复数 虚数单位 i 的幂运算性质 考查共轭复数问题 属于基础题 2 答案 D 解析 分析 可解出集合 A B 然后进行并集的运算即可 考查描述法的定义 一元二次不等式的解法 以及并集的运算 解答 解 A x x 1 B x 1 x 2 A B x x 1 故选 D 3 答案 C 解析 解 8 10 20 26 18 m 4 2 1 得 m 12 故 A 错误 活动次数不高于 2 场

7、的学生约 8 10 20 1000 380 即约为 380 人 故 B 错误 参加传统文化活动次数不低于 4 场的学生为 18 12 4 2 1000 360 人 故 C 是正确的 D 中的分段间隔应为 1000 50 20 故 D 错误 故选 C 根据系统抽样的定义分别进行判断即可 本题主要考查命题的真假判断 结合系统抽样的定义进行判断是解决本题的关键 4 答案 B 解析 解法一 设首项为 a1 公比为 q 因为 an 0 所以 q 0 由条件得 解得 所以 S5 31 故选 B 解法二 设首项为 a1 公比为 q 由 又 a3 4 q 2 又因为 所以 a1 1 所以 S5 31 第 7 页 共 18 页 故选 B 解法一 设首项为 a1 公比为 q 因为 an 0 所以 q 0 由条件得 解出即可得出 解法二 设首项为 a1 公比为 q 由 又 a3 4 可得 q 2 再利用通项 公式即可得出 本题考查了等比数列的通项公式及其性质 考查了推理能力与计算能力 属于中档题 5 答案 C 解析 解 由 且 可得 代入 可得 cos0 1 故选 C 解法二 由 且 可得 所以 故选 C

8、解法一 由题意先求出角 从而求得的值 解法二 由题意求得 cos 再根据 cos 吧 利用两角差的三 角公式求得结果 本题主要考查两角和差的三角公式的应用 属于基础题 6 答案 B 解析 解 解法一 设准线与 x 轴交于点 Q 因为直线 AF 的斜率为 FQ 2 所以 AFQ 60 FA 4 又因为 PA PF 所以 PAF 是边长为 4 的等边三角 形 所以 PAF 的面积为 解法二 设准线与 x 轴交于点 Q P m n 因为直 线 AF 的斜率为 FQ 2 所以 AFQ 60 所以 所以 又因为 n2 4m 所以 m 3 又因为 PA PF 4 所以 PAF 的面积为 故选 B 解法一 设准线与 x 轴交于点 Q 因为直线 AF 的斜率为 可得 PAF 是边长为 4 的等边三角形 即可求出面积 解法二 设准线与 x 轴交于点 Q P m n 利用抛物线的定义即可求 PF 的值 本题主要考查抛物线的几何性质 定义的应用 以及曲线交点的求法 利用抛物线的定 义是解决本题的关键 第 8 页 共 18 页 7 答案 D 解析 解 由三视图知 该几何体是直三棱柱减去一个三棱锥 如图所示 所

9、求几何体的体积为直三棱柱的体积减去三棱锥的体积 即 V 故选 D 由三视图知该几何体是直三棱柱截去一个三棱锥 结合图中数据 求出几何体的体积 本题考查了利用三视图求几何体的体积应用问题 是基础题 8 答案 D 解析 解 由图象的相邻两条对称轴之间的距离为 所以 T 又因为 0 所以 解得 2 将函数 f x 的图象向左平移 个单位长度后 得到函数的图象 因为函数 g x 为偶函数 所以 k Z 由 解得 所以 f x 2sin 2x 因为 所以 所以函数的值域是 1 2 故选 D 首先利用函数的图象和性质求出函数的关系式 进一步利用图象的平移变换求出 g x 的函数的关系式 进一步求出函数的值域 本题考查的知识要点 三角函数关系式的恒等变换 函数的图象的平移变换和伸缩变换 的应用 主要考查学生的运算能力和转化能力 属于基础题型 9 答案 B 解析 解 g x 为偶函数 h x 为奇函数 且满足 g x h x 2x g x h x g x h x 2 x 第 9 页 共 18 页 得 g x h x 由 m g x h x 0 得 m 0 即 m 1 y 1 为增函数 当 x 1 时

10、函数取得最大值 最大值为 1 故 m 即 m 的最大值为 故选 B 利用函数的奇偶性建立方程组求出函数 g x 和 h x 解析式 利用参数分离法求出 函数的最值进行求解即可 本题主要考查函数存在性以及恒成立问题 利用函数奇偶性求出函数的解析式以及利用 参数分离法进行转化是解决本题的关键 10 答案 C 解析 分析 本题考查了双曲线的简单性质 考查了运算求解能力和推理论证 能力 属于中档题 根据双曲线的定义和等腰三角形的性质 即可得到 2a 2 2 2c 2 化简整理可得 解答 解 连接 QF1 由条件知 QF1 PF2 且 QF2 由双曲线定义知 QF1 2a 在 Rt F1QF2中 2a 2 2 2c 2 即 8a2 4ac 7c2 0 即 8 4e 7e2 0 解得 C 的离心率 e 故选 C 11 答案 C 解析 解 正方体的表面被该球面被 所截得的弧长有相等的三部分 例如 与上底面截得的弧长 是球的大圆的 周长的 故其弧长为 所 以弧长之和为 3 故选 C 第 10 页 共 18 页 找到球与正方体所形成的三段圆弧 发现它们都是 个大圆的圆弧 故可求 本题考查球与平面的截得的

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