2020年安徽合肥市高三理科数学上册一模理数试题卷及答案

1、 数学试题 理科 第 1 页 共 4 页 合肥市2020 年高三第一次教学质量检测 数学试题 理科 参考答案及评分标准 一 选择题 本大题共12小题 每小题5分 共60分 一 选择题 本大题共12小题 每小题5分 共60分 二 填空题 本大题共4小题 每小题5分 共20分 二 填空题 本大题共4小题 每小题5分 共20分 13 2 14 3 或 2 3 15 72 16 6 1 6 4n 第一空2分 第二空3分 三 解答题 大题共6小题 满分70分 17 本小题满分12分 三 解答题 大题共6小题 满分70分 17 本小题满分12分 解 1 在ABC 中 sinsinsin abc ABC 且coscos2 cos0aCcAbB sincossincos2sincos0ACCABB sin12cos0BB 又 sin0B 2 cos 2 B B是三角形的内角 3 4 B 5分 2 在ABM 中 3 1 5 4 BMAMBABc 由余弦定理得 2 22 2cosAMcBMc BMB 2 240cc 0c 2 c 在ABC 中 2a 3 4 B ABC 的面积 1 sin1 2 SacB

2、12分 18 本小题满分12分 18 本小题满分12分 1 依题意 学校选择 科技体验游 的概率为 2 5 选择 自然风光游 的概率为1 5 这3所学校选择研学游类型为 科技体验游 和 自然风光游 这两种类型都有学校选的概率为 22 22 33 211218 5555125 PCC 5分 2 X可能取值为0 1 2 3 则 3 0 3 327 0 5125 P XC 2 1 3 2354 1 55125 P XC 2 2 3 2336 2 55125 P XC 3 3 3 28 3 5125 P XC X的分布列为 X 0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 27543686 0123 1251251251255 EX 12分 或解 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C D D B A B A C C B 数学试题 理科 第 2 页 共 4 页 随机变量X服从 2 3 5 XB 26 3 55 EXnp 12分 19 本小题满分12分 19 本小题满分12分 1 连结 1 AC 1 AAAC 四边形 11 AAC

3、 C为菱形 11 ACAC 平面 11 AAC C 平面ABC 平面 11 AAC C 平面ABCAC BC 平面ABC BCAC BC 平面 11 AAC C 又 11 BCBC 11 BC 平面 11 AAC C 111 BCAC 1111 ACBCC 1 AC 平面 11 ABC 而 1 AB 平面 11 ABC 1 AC 1 AB 5分 2 取 11 AC中点M 连结CM 1 AAAC 四边形 11 AAC C为菱形 1 60A AC 11 CMAC CMAC 又 CMBC 以C为原点 CACBCM 为正方向建立如图所示的空间直角坐标系 设1CB 22ACCB 1 AAAC 1 60A AC C 0 0 0 1 A 1 0 3 A 2 0 0 B 0 1 0 1 B 1 1 3 由 1 知 平面 11 C AB的一个法向量为 1 1 03CA 设平面 1 ABB的法向量为 nxyz 则 1 nAB nAB 1 0 0 n AB n AB 2 1 0AB 1 3 1 3AB 20 330 xy xyz 令1x 得 1 2 3 yz 即 1 1 2 3 n 1 1 1 23 cos

4、 416 2 3 CA n CA n CAn 二面角 11 CABB 的余弦值为 3 4 12分 20 本小题满分12分 20 本小题满分12分 1 设椭圆的半焦距为c 由椭圆的离心率为 2 2 知 2bcab 设圆C 的半径为r 则 22 rabab 2 232bb 解得3b 6a 椭圆C的方程为 22 1 63 xy 5分 2 MN 关于原点对称 PMPN OPMN 设 11 Mxy 22 P xy 当直线PM的斜率存在时 设直线PM的方程为ykxm 由直线和椭圆方程联立得 2 2 26xkxm 数学试题 理科 第 3 页 共 4 页 即 222 124260kxkmxm 得 12 2 2 12 2 4 21 26 21 km xx k m x x k 设 11 OMxy 22 OPxy 12121212 OM OPx xy yx xkxmkxm 2 2222 1212 22 264 11 2121 mkm kx xkm xxmkkmm kk 22 2 322 0 21 mk k 22 220mk 22 22mk 圆 C 的圆心O到直线PM的距离为 2 2 1 m r k 直线PM

5、与圆 C 相切 当直线PM的斜率不存在时 设 00 M xy 则 00 Nxy 由条件可知 00 P xy 且 22 00 xy 又 22 00 1 63 xy 2 0 2x PMC与相切 同理可得 直线PN与圆 C 也相切 直线PM PN与圆 C 相切 12分 21 本小题满分12分 21 本小题满分12分 1 由 2 1 0 x x f x e 得1x 函数的零点 0 1x 2 21 x xx fx e 12fe 10f 曲线 yf x 在1x 处的切线方程为 21ye x 2 1f e 10f 曲线 yf x 在1x 处的切线方程为 2 1yx e 5分 2 2 21 x xx fx e 当 1212 x 时 0fx 当 12 120 xfx 时 f x的单调递增区间为 12 12 单调递减区间为 12 12 又当1x 或1x 时 0f x 当11x 时 0fx 下面证明 当 1 1x 时 21e xfx 2 1 11 e xf xx 2 1 2 1 0 x x e x e 1 1 0 11 2 x x ex 易知 1 1 2 x x g xe 在 1 1 x 上单调递增 而 1

6、 0 g 0 1 1 g xx 对恒成立 即当 1 1x 时 21e xf x 由 21ye x ym 得1 2 m x e 记 1 1 2 m x e 不妨设 12 xx 则 12 1121xx 1212212 1 2 m xxxxxxx e 数学试题 理科 第 4 页 共 4 页 要证 12 1 21 2 xxm e 只要证 2 1 121 22 m xm ee 即证 2 1xm 又 2 2 2 1 x x m e 只要证 2 2 2 2 1 1 x x x e 即 2 22 110 x xex 2 12 1x 即证 2 2 10 x ex 令 11 xx xexxe 当 12 0 x 时 0 x x 为单调递减函数 当 0 1x 时 0 x x 为单调递增函数 00 x 2 2 10 x ex 12 1 21 2 xxm e 12分 22 本小题满分10分 22 本小题满分10分 1 曲线C的方程4cos6sin 2 4 cos6 sin 22 46xyxy 即曲线C的直角坐标方程为 22 2313xy 5分 2 把直线 2 3 2 2 1 2 xt l yt 代入曲线C得 22 22 1213 22 tt 整理得 2 3 280tt 2 3 2320 设 12 tt 为方程的两个实数根 则 12 3 2tt 1 2 8t t 12 tt 为异号 又 点A 3 1 在直线l上 2 1212121 2 4505 2AMANttttttt t 10分 23 本小题满分10分 23 本小题满分10分 解 1 2f xxmx 220f xxmx 的解集为 4 2xmx 解得28m 即6m 5分 2 6m 212abc 又 a 0 b 0 c 3 1223 113 2 abc abc 3 33 12231121 12 32 232323 abcabc 当且仅当1223abc 结合212abc 解得3a 1b 7c 时 等号成立 113abc 的最大值为32 10分

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