组合数学复习题解答
47页1、1 组合数学练习题 一 1 有20根完全相同的木棍从左至右竖立成一行 占据20个位置 要从中选出6根 1 有多少种选择 2 如果选出的木棍中没有两根是位置相邻的 又有多少种选择 3 如果选出的每一对木棍之间必须至少有两根木棍 又有多少种选择 解 1 有种 2 2 所选出的6根木棍实际上可将这20根排成一行的木棍分割成7段 加上首和尾 设所选左边第1根木棍的左侧有x1根未被选中的木棍 在第1与第2根所选木棍之间有x2根未被选中的木棍 在第5与第6根所选木棍之间有x6根未被选中的木棍 在第6根所选木棍的右侧有x7根未被选中的木棍 则由于没有两根选出的木棍是相邻的 所以 3 作变量代换 则原方程变成 这个方程的非负整数解的个数即为所求的选择数 4 3 同 2 中的分析 此时有不定方程 仿照 2 这个方程的非负整数解的个数即为所求的选择数 5 2 1 在2n个物体中有n个是相同的 则从这2n个物体中选取n个的方法有几种 2 在3n 1个物体中有n个是相同的 则从这3n 1个物体中选取n个的方法有几种 解 1 若选出的物体有个不 相同 则其余n k个是相同的 所以选取的方法数为 2 类似于 1
2、的分析可知 所以选取的方法数为 6 3 用种颜色去涂棋盘 每格涂一种颜色 求使得相邻格子异色 首末两格也异色的涂色方法数 解用hn表示所求方法数 易知 用m种颜色去涂棋盘 每格涂一种颜 色 使得相邻格子异色的涂色方法数有 种 其中使得首末两格同色的涂色方法有种 所以 从而 7 8 4 用种颜色去涂棱锥的n 1个顶点 每个顶点涂一种颜色 求使得棱锥的每条棱的两个端点异色的涂色方法数 解设V是一个n棱锥 则可依如下两个步骤去完成V的n 1个顶点的涂色工作 先涂顶点v0 有m种涂色方法 然后用异于v0颜色的m 1种颜色去涂顶点序列v1 v2 vn 使得相邻顶点异色且首末两个顶点也异色 9 由上题可知 完成此步骤的方法有 种 由乘法原理 得所求涂色方法数为 10 5 将充分多的苹果 香蕉 橘子和梨这4种水果装袋 要求各袋有偶数个苹果 最多2个橘子 3的倍数个香蕉 最多1个梨 如果每袋装n个水果 求装袋的种类数 11 12 6 把n个相异的球放到4个相异盒子中 求使得含有奇数个球 含有偶数个球的不同的放球方法数 则数列对应的指母函数为 解设满足条件的放球方法数为 13 所以 14 7 由数字1至
3、9组成的每种数字至少出现1次的位数有多少个 解设所求的数为an 则 an 的指母函数为 所以 15 8 由字母a b c d e组成的总字母数为n的单词中 要求a与b的个数之和为偶数 求这样的单词的个数 解这样的单词有两类 一类包括偶数个a与偶数个b 另一类包括奇数个a与奇数个b 设所求的数为an 则 an 的指母函数为 16 故 17 9 有多少个长度为n的0与1串 在这些串中 既不包含子串010 也不包含子串101 解设这种数串的个数为 将满足条件的数串分为两类 1 最后两位数字相同 这种长度为n的数串可由长度为n 1的串最后一位数字重复一次而得 故这类数串的个数 2 最后两位数字不同 这种长度为n的数串可由长度为n 2的串最后一位 设为a 重复一次 再加上与a不同的数字而得 故这类数串的个数为 18 于是得递推关系 由Fibonacci数列 得通解 代入初值 得 19 10 由0 1 2 3组成的长度为n的序列中 求含偶数个0的序列个数和含奇数个0的序列个数 解设an为含偶数个0的序列个数 bn为含奇数个0的序列个数 则有 解得 20 11 十个数字 0到9 和四个运算符 组成1
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