福建省泉港区第一中学2019届高三数学上学期第二次月考试题文

1、 1 泉港一中泉港一中 2018 20192018 2019 学年上学期第二次月考高三年文科数学学科试卷学年上学期第二次月考高三年文科数学学科试卷 试卷满分 150 分 考试时间 150 分钟 一 一 选择题 选择题 本大题共本大题共 1212 个小题 个小题 每小题每小题 5 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项分 在每小题给出的四个选项中 只有一项 是符合是符合 1 已知集合 0 1 2 3 4 M 2 230 Nx xx 若 PMN 则P的子集共有 A 2 个 B 4 个 C 6 个 D 8 个 2 已知双曲线C的两条渐近线互相垂直 则双曲线C的离心率为 A 2 B 3 C 2 D 随着坐标系的不同而变化 3 已知复数 11zaai 则在复平面内 复数z对应的点不可能位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 4 孙子算经 是我国古代的数学名著 书中有如下问题 今有五等诸侯 共分橘子六十颗 人别加三颗 问 五人各得几何 其意思为 有 5 个人 分 60 个橘子 他们分得的橘子个数成公差为 3 的等差数列 问 5 人各得多少橘 子 根据这个问题 有下列 3

2、个说法 得到橘子最少的人所得的橘子个数是 6 得到橘子最多的人个数是最少的3倍 得到橘子第三多的人所得的橘子个数 恰好是这 5 人的所得橘子的平均数 其中说法正确的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 5 右边程序框图的功能是求出 1 1 6 1 6 6 的值 则框图中 两处应分别填写的是 A 1 ia B 1 6ia C 1 ia D 1 6ia 6 几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 A 20 3 B 7 C 8 D 24 3 7 函数 x x y log2 的大致图像是 2 A B C D 8 m n 0 是 方程 mx2 ny2 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 9 设向量满足 2abab 则以 a b ab 为边长的三角形面积最大值为 A 1 B 2 C 3 D 4 10 已知抛物线 2 4 yx 焦点为F 过F的直线l和抛物线交于点A B 和抛物线准线交于 点C 若2 CFBF 则AF的长度为 A 3 B 4 C 5 D 6 11 已知 sinf xx 的图像向左平移 0 个单位后

3、得到函数 g x的图像 若 5 44 x 时 f xg x 则 h xf xg x 的一个单调递增区间是 A 3 44 B 2 2 C 3 44 D 5 44 12 对任意 12 1 x x 当 21 xx 时 恒有 2 21 1 ln2 x axx x 则实数a的取值范围是 A 2 B 2 C 2 D 2 二 填空题 二 填空题 本大题共本大题共 4 4 小题 小题 每小题每小题 5 5 分分 3 13 已知 sin x y x 在点M处的切线方程为 xy 则点M的坐标为 14 设xy 满足的约束条件 10 10 220 xy xy xy 则3 zxy的最大值为 15 已知ABCBCD 平面平面 2BC BDCD 4ABAC 则三棱锥 A BCD外接 球表面积的最小值是 16 如果一个点是一个指数函数和反函数对数函数的图像的交点 那么称这个点为 好点 已知点 1 P ab 是 好点 则 22 ab 的最小值为 三 解答题 三 解答题 本大题共本大题共 6 6 小题 小题 共共 7070 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 已知

4、等差数列 n a的公差d为1 且 134 a a a成等比数列 求数列 n a的通项公式 设数列 5 2 n a n bn 求数列 n b的前n项和 n S 18 如图 在ABC 中 2AB 3cos24cos10BB 且点D在线段BC上 若 3 4 ADC 求AD长 若AD为ABC 角平分线 2 2 ADCABD SS 求ABC 的面积 19 正四面体ABCD 中 E F G H M N分别是棱 AB AC CD BD BC AD的中点 求证 EFGHMND 平面平面 记三棱锥MNCD 的体积为 1 V 几何体CGFBHE 的体积为 2 V 求 1 2 V V 20 已知抛物线 C 2 2 0 ypx p 点 1 0Amm 在曲线C上 它到准线的距离等于 2 求抛物线C的方程 4 若 E F是抛物线C上的两个动点 直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数 求证 直 线 EF 的斜率为定值 并求出这个定值 21 本小题满分 12 分 已知函数 2 ln1f xxxx 求证 方程 0f x 有两不相等实根 是 否 存 在k 使 的 f x在 区 间 m n上 的 值 域 是 kk nm nm

5、 其 中 区 间 1 m n 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 在极坐标系中 曲线 1 C的极坐标方程是 24 4cos3sin 以极点为原点O 极轴为x轴正 半轴 两坐标系取相同的单位长度 的直角坐标系xOy中 曲线 2 C的参数方程为 xcos ysin 为参数 1 求曲线 1 C的直角坐标方程与曲线 2 C的普通方程 2 将曲线 2 C经过伸缩变换 2 2 2 xx yy 后得到曲线 3 C 若M N分别是曲线 1 C和曲线 3 C上的动点 求MN的最小值 23 选修 4 5 不等式选讲 已知 21f xxaxaR 1 当1a 时 解不等式 2f x 2 若不等式 2 1 1 2 f xxxa 对xR 恒成立 求实数a的取值范围 泉港一中泉港一中 2018 20192018 2019 学年上学期第二次月考高三年文科数学学科试卷学年上学期第二次月考高三年文科数学学科试卷 5 参考答案参考答案 一 选择题 一 选择题 本大题共本大题共 1212 个小题 个小题 每小题每小题 5 5 分分 1 D1 D 2 A2 A 3 D3 D 4 D4 D 5 B5 B 6 A6 A 7 C7

6、 C 8 C8 C 9 A9 A 10 B10 B 11 A11 A 12 C12 C 二 填空题 二 填空题 本大题共本大题共 4 4 小题 小题 每小题每小题 5 5 分分 13 13 0 14 14 13 15 15 3 16 1 2 三 解答题 三 解答题 本大题共本大题共 6 6 小题 小题 共共 7070 分 分 第一小题第一小题 1010 分其他每题分其他每题 1212 分 分 17 解 1 解析 在等差数列解析 在等差数列 n a中 因为中 因为 134 a a a成等比数列 成等比数列 所以所以 2 314 aa a 即 即 22 111 2 3adaa d 解得解得 2 1 40add 因为因为1d 所以所以 1 4a 所以数列所以数列 n a的通项公式的通项公式5 n an 5 5 分分 由 知 由 知5 n an 所以所以 5 22 n an n bnn 123 23 1 2222 123 2 1 2 1 1 22 1 222 nn n n n Sbbbb n nnn n 18 解 1 由3cos24cos10BB 可得 2 3cos2cos10BB 所以 1

7、cos 3 B 或cos1B 舍去 所以 2 2 sin 3 B 因为 3 4 ADC 所以 4 ADB 由正弦定理可得 sinsin ABAD ADBB 所以 8 3 AD 2 AD为ABC 角平分线 2 2 ADCABD SS 2AB 所以4 2AC 由余弦定理 222 2cosACABBCAB BCB 6 可得6BC 或 14 3 BC 舍去 所以 1 sin 2 ABC SAB BCB 12 2 2 64 2 23 19 证明 连接AM 则 AM MD 又NAD为中点 所以MNAD 在ACD 中 FGAD 因此MNFG 同理可证MNEF 且FGEFG 所以MNEFGH 平面 又MNMND 平面 所以EFGHMND 平面平面 记正四面体ABCD 的体积为V 点ABCD到平面的距离为h 所以 1 1 324 N MCDMCD hV VVS 又几何体CGFBHE 的体积为 2 2 V V 也可切割求解 所以 1 2 1 2 V V 20 由题意 12 2 p 所以2p 所以抛物线C的方程为 2 4yx 因 为 1 2A 设 直 线AE方 程 为 12yk x 代 入 2 4yx 得

8、2222 244440k xkkxkk 设 EEFF E xyF xy 因为点 1 2A在椭圆 上 所以 2 2 44 1 E kk x k 所以 2 2 44 E kk x k 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反 数 在 上 式 中 以k 代k 可 得 2 2 44 F kk x k 所 以 直 线EF的 斜 率 1212 FE EF FE k xk x k xx 2 1 FE FE k xx xx 即直线 EF 的斜率为定值 其值为 1 21 解 f x的定义域 0 7 2 22 21121 xxxx fx xx 令 0fx 解得1x 或 1 2 x 舍去 所以 当 0 1x 0fx 当 1 x 0fx 所以 f x的单调递增区间为 0 1 单调递减区间为 1 故当1x 时 f x取得最大值为 110f 2222 10f eee 2 ln2 10f 所以必存在唯一的 2 1 1xe 唯一的 2 1 2x 使得 12 x x为 0f x 的两根 由 可知 f x在 1 上为减函数 而当 1 m n f x在 m n上的值域是 kk nm nm 所以 kk f mm f nn mn

9、其中1mn 则 k f xx x 在 1 上至少有两个不同的实数根 由 k f xx x 得 32 ln2k xxxxx 记 32 ln2xxxxxx 1 x 则 2 ln342xxxx 记 2 ln342g xxxxx 则 1 64gxx x 因为 1 x 所以 1 640gxx x 所以 g x在 1 上为增函数 即 x 在 1 上为增函数 而 1 3 2 ln220 所以存在 0 1 2 x 使得 0 0 x 因此当 0 1 xx 时 0 x 当 0 xx 时 0 x 所以 x 在 0 1 x上为增函数 在 0 x 上为减函数 因为 42 所以当 0 1kx 32 ln2k xxxxx 有两个不同实根 8 所以存在k 使的 f x在区间 m n上的值域是 kk nm nm 其中区间 1 mn 22 1 2 1 1 0 2 Ay yxxy y 2 1 2 2By yxxRy y 02AByy 2 由已知条件得 2 02Mx y yxax 因为点 mnM 所以 2nma 222 2 02m nmammaam 对称轴m a 若22aa 即时 n mm 随着 增大而减小 1 24 4 4

10、 mn ma 当时最小 所以所以 7 2 16 aa 不满足 若020aa 即 2时 1 4 man m 2 当时最小 所以 a所以 11 0 22 aaa 又因为 2 所以 若00aa 即时 n mm 随着 增大而增大 0mn m 当时最小值为0 显然不合题意 综上 1 2 a 22 1 1 C的极坐标方程是 24 4cos3sin 4 cos3 sin24 整理得 43240 xy 1 C的直角坐标方程为43240 xy 曲线 2 C xcos ysin 22 1xy 故 2 C的普通方程为 22 1xy 2 将曲线 2 C经过伸缩变换 2 2 2 xx yy 后得到曲线 3 C的方程为 22 1 84 xy 则曲线 3 C 9 的参数方程为 2 2 2 xcos ysin 为参数 设 2 2cos 2Nsin 则点N到曲线 1 C的距 离 为 4 2 2cos3 2sin24 5 d 2 41sin24 5 242 41sin 5 4 2 tan 3 当 sin1 时 d有最小值 242 41 5 所以MN的最小值为 242 41 5 23 1 当1a 时 等式 2f x 即21

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