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厦门大学网络教育线性代数复习题B(含

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文档编号：118789096

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1、厦门大学网络教育学线性代数复习题 B一、选择题（每小题 3 分，共 18 分）1 设行列式，则（）。A ； B ；C ； D 。2 已知为阶非零方阵，为阶单位矩阵，若，则（）。A 不可逆，不可逆； B 不可逆，可逆；C 可逆，可逆； D 不可逆，可逆。3 向量，，线性无关，则下列向量组线性相关的是（）。A ，，； B ，，；C ，，； D ，，。4 若 3 阶方阵及，都不可逆，则的特征多项式中常数项为（）。A ； B ； C ； D 。5 下列命题错误的是（）。A 相似矩阵有相同的特征多项式；B 个维向量必线性相关；C 矩阵是阶正交矩阵的充分必要条件是；D 若矩阵的秩是，并且存在阶子式，则其所有的阶子式全为。6 下列命题正确的是（）。A 若，为同阶方阵，且，则也是对称阵； B 若，且，其中为零矩阵，则；C 齐次线性方程组（是矩阵）有唯一解的充分必要条件是； D 设非齐次线性方程组有无穷多解，则相应的齐次线性方程组有唯一解。二、填空题 ( 每小题 3 分 , 共 1

2、8 分 ) 7 设矩阵，，其中，，，，均为四维列向量，且已知行列式，，则行列式。8 若，当 _ 时，。9 与正交，则。10 已知 3 阶矩阵的特征值为，，，则矩阵（为三阶单位矩阵）的特征值为。11 设为可逆矩阵，且，则。12 若，均可逆，，则可逆，且。三、计算题 ( 共 6 4 分 )13 行列式计算（ 10 分）求行列式，其中，是阶行列式，主对角线上的元素为，其余元素为。14 求解矩阵方程（ 10 分）设，，求。15 线性方程组的计算（ 12 分）设有线性方程组，问取何值时，此方程组（ 1 ）有唯一解；（ 2 ）无解；（ 3 ）有无穷多解？并在有无限多解时求其通解。16 向量组计算（ 10 分）已知向量组，，，，，试求，，，，的一个极大线性无关组，并把其余向量用此极大线性无关组线性表示。17 设二次型可通过正交变换化成标准型，求参数及使用的正交变换（ 20 分）说明：（ 1 ）先将二次型表示成矩阵形式（ 2 分）；（ 2 ）求出的值（ 5 分）；（ 3 ）求出对应于特征值的

3、特征向量（ 6 分）；（ 4 ）将这些特征向量正交单位化（ 3 分）；（ 5 ）最后写出所作的正交变换（ 4 分）。请按上述五步顺利给出解题过程。一、选择题（每小题 3 分，共 18 分）1 B 。解：由行列式的性质可知。2 C 。解：由于，，因此，均可逆，故选 C 。3 C 解：显然有，所以，，线性相关，故选 C 。4 A 。解：根据定理 5.1 知，设是的特征值，则必有，于是不可逆，又及，都不可逆，那么，，不可逆，知的特征值为，，，而的特征多项式中常数项的值等于。5 D 。解： A 正确，相似矩阵有相同的特征多项式（ 5.2 性质 5 ）。B 正确，个维向量必线性相关（定理 2.5 ）。C 正确，矩阵是阶正交矩阵的充分必要条件是，这是正交矩阵的定义。D 错误，矩阵的秩是，若其所有的阶子式全为，则的任何阶子式都为，这与矩阵的秩为矛盾（注意矩阵的秩是，说明其存在一个阶非零子式）。6 A 。解： A 正确，若，为同阶方阵，且，则，则也是对称矩阵。B 错误，反例：，记，但。注意矩阵乘法不

4、满足消去律，当，只有可逆时，才有。C 错误，齐次线性方程（是矩阵）有唯一解的充分必要条件是。D 错误，非齐次线性方程组有无穷多解，则的秩小于的列秩，即的秩小于方程未知数的个数，是相应的齐次线性方程组有无穷多解的充要条件。二、填空题 ( 每小题 3 分 , 共 18 分 ) 7 解：。8 解：，又，故。9 因为，正交，所以，则。10 解：由，可知是的特征值，于是由的特征值，，可知的特征值为，，。11 解：为可逆矩阵，则可写成一系列初等矩阵的乘积，由左乘得到，相当于可通过初等行变换把变成，由于初等变换不改变矩阵的秩，故，而，所以。12 解：由且、可逆可知，可逆，设矩阵，使得，即，则，故；，则；，故，；，则，故所以。三、计算题 ( 共 6 4 分 )13 解：（将各列分别加到第 1 列得）再将第一行乘以分别加到其余各行，得14 解：由，可得。由于，而，所以可逆，则。因此。15 解：对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵，有。（ 1 ）当且时，，方程组有唯一解。（ 2 ）当时，，，方程组无解。（ 3 ）当时，，方程组有无限个解，这时，由此便得通解（可任意取值）即， ( ) 。16 解：将向量，，，，看成一个矩阵的列向量组，得矩阵对矩阵仅施以初等行变换，把化为阶梯形矩阵因此向量组，，是向量组，，，，的一个极大线性无关组，且，。17 解：（ 1 ）二次型，其中，。由题意知的特征值为 , , 。将代入，得，得，于是。（ 3 ）下面求特征向量：当时，解得方程组的基础解系为。当时，解方程组，可得线性方程组的基础解系为。当时，解方程组，可得线性方程组的基础解系为。容易看出，，两两正交。（ 4 ）下面将，，单位化，，。（ 5 ）取。令，其中所作的正交线性变换为，即

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