百校联盟2018届高三TOP20四月联考（全国II卷）理数试题（含答案解析）

1、百校联盟2018届高三TOP20四月联考（全国II卷）理数试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：解二次不等式化简集合，然后求并集.详解：由题意，得，又，故选：A点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解2. 已知复数，则的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：直利用复数代数形式的乘除运算化简，然后求出虚部.详解：=，则z的虚部为故选：C3. 已知，若，则（ ）A. 8 B. 10 C. 11 D. 12【答案】D【解析】分析：由向量垂直，得到关于的方程，解之即可.详解：，又，故选：D点睛：本题考查了向量垂直的坐标表示，属于基础题.4. 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他活动的民间艺术，在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分.在如图所示的古代正八边形窗花矢量图片中，则向正八边形窗花矢量图片中任投一点，落在正

2、方形中的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：设，分别计算正方形与正八边形的面积，即可得到所求.详解：设，则，根据对称性可知，落在正方形中的概率为.故选：C点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率5. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）A. 5 B. 11 C. 14 D. 19【答案】B【解析】分析：根据题意，模拟程序框图的运行过程，求出该程序运行后输出的S的值详解：第一次循环：是，否；第二次循环：是，否；第三次循环：是，否；第四次循环：是，否；第五次循环：是，是，输出.故选：B点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环

3、终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.6. 过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根据题意，分别求出，利用条件，搭建的方程，从而得到双曲线的渐近线方程.详解：双曲线的渐近线方程为，令，得，所以，又因为，所以由，得，整理得，所以双曲线E的渐近线方程为.故选：B点睛：本题重点考查了双曲线的几何性质，通径的求法，渐近线方程，考查了运算能力及逻辑推理能力.7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：由三视图可还原出该几何体为一个直三棱柱削掉一个三棱锥，进而求其表面积即可.详解：由三视图可知该几何体为一个直三棱柱削掉一个三棱锥所得，所以其表面积为.故选：D点睛：空间几何体表面积的求法 (1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理

4、(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用8. 已知，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：先明确函数的单调性与奇偶性，然后解抽象不等式即可.详解：因为是偶函数，且在上为增函数，所以由，得，解得.故选：B点睛：对于比较大小、求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若为偶函数，则 ，若函数是奇函数，则9. 已知数列中，则（ ）A. 1028 B. 1026 C. 1024 D. 1022【答案】D【解析】分析：由递推关系可得，即，从而得到的通项公式，进而求即可.详解：因为，所以，即，所以，即，故是以3为首项，1为公差的等差数列，所以，所以，所以1022故选：D点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项10. 已知，若存在点，

5、使得，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：作出不等式组表示的可行域，利用图象的直观性建立的不等式组，即可求出的取值范围.详解：作出不等式组表示的可行域，如图，要使可行域存在，必有，若可行域存在点，使得，则可行域内含有直线上的点，只需边界点在直线上方，且在直线下方，解不等式，解得故选：C点睛：题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.11. 已知函数，则函数在上的所有零点之和为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：原问题可转化为与的图象交点问题，注意到二者都关于点对称，作图象交点情况一目了然.详解：设，因为和的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，因为,当，即时，当，即时，所以在上单调递增，在上单调递减，根据对称性可知在上单调递减，在上单调递增，当时，当时，又因为关于点对称，且，同一坐标系中作出与的图象，由

6、图象可知所有零点之和为.故选：C点睛：（1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数（2）本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决，解题时注意图象具有良好的对称性，从而问题得以简化.12. 在三棱锥中，平面和平面所成角为，则三棱锥外接球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先明确球心的位置：过ABC的外心作平面ABC的垂线，过PBC的外心作平面PBC的垂线，设两条垂线交于点O，则O为三棱锥外接球的球心,然后把问题转化为解三角形的问题.详解：如图，过ABC的外心作平面ABC的垂线，过PBC的外心作平面PBC的垂线，设两条垂线交于点O，则O为三棱锥外接球的球心，过点作，连接，则BC平面，BC平面，所以四点共面，所以BC,由BC，BC，所以为平面PBC和平面ABC所成角，即，由，得，由余弦定理得，由正弦定理得，即，又因为，所以由余弦定理得，所以，所以，三棱锥外接球的体积为故选：A点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置

7、对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数则_【答案】0【解析】由分段函数的定义可得，则，应填答案。14. 已知的展开式中所有项的系数之和为16，则展开式中含项的系数为_(用数字作答).【答案】【解析】分析：通过因式分解“三项问题”可转化为“二项问题”进而分类讨论即可求出展开式中含项的系数.详解：令，得，得，因为，所以展开式中含项的系数为故答案为：点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.15. 抛物线的焦点为，其准线为直线，过点作直线的垂线，垂足为，则的 角平分线所在的直线斜率是_【答案】【解析】分析：由抛物线定义可知，进而可推断出FM

8、H的角平分线所在的直线经过HF的中点，利用斜率的两点式即可得到结论.详解：连接HF，因为点M在抛物线上，所以由抛物线的定义可知，所以MHF为等腰三角形，所以FMH的角平分线所在的直线经过HF的中点，因为F，所以HF的中点为，所以FMH的角平分线的斜率为.故答案为：点睛：在解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线的定义在解题中的应用。抛物线定义有两种用途：一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d，则|MF|d，可解决有关距离、最值、弦长等问题；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线16. 已知的内角的对边分别为，若，则的最小值为_【答案】【解析】分析：由余弦定理结合可得，从而把两元问题转化为一元问题，然后利用均值不等式即可求出的最小值.详解：由余弦定理及，得即，再由正弦定理，得即，即所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为故答案为：点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.一正：关系式中，各项均为正数；二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；三相等：含变量的各项均相等，取得最值.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列的前项和满足，且是的等差中项，是等差数列，.（1）求数列的通项公式；（2），求数列的前项和.【答案】（1），（2）【解析】分析：（1）利用与的关系求得的通项公式，利用等差数列基本量关系得到的通项公式；（2）由（1）得，利用错位相减法求出数列的前项和.详解：（1）由题意知，当时，又因为，且，则，所以，又成等差数列，则，所以， 解得，所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列，故.设的公差为，则， 解得，所以.（2）由（1）得，所以，两式相减得，整理得.点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式；(3)在

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