选修2-1数学椭圆综合 知识点+大量例题

1、椭圆的性质椭圆的范围 椭圆上的点都位于直线x=a和y=b围成的矩形内，所以坐标满足|x|a，|y|b.椭圆的离心率 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。因为ac0，所以e的取值范围是0e1。e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）：（1），；（2），；（3）,，；椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义 椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：ab0，ac0，且a2=b2+c2。椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。平面内点与椭圆的位置关系 椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M（x,y），若点M（x,y）

2、在椭圆上，则有；若点M（x,y）在椭圆内，则有；若点M（x,y）在椭圆外，则有.直线与椭圆的相交弦 设直线交椭圆于点两点，则=同理可得这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：;例1. 已知椭圆的对称轴为坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且，求椭圆的方程。【解析】 椭圆的长轴长为6，所以点A不是长轴的顶点，是短轴的顶点，所以|OF|=c，所以c=2，b2=3222=5，故椭圆的方程为或。【变式3】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点在x轴上，离心率为过点的直线l交C于A，B两点，且的周长为16，那么C的方程为_ 【答案】。例2.（1）已知椭圆的一个焦点将长轴分成长为的两段，求其离心率；（2）已知椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4，求其离心率。【解析】 （1）由题意得，即，解得。（2）由题意得，解得，故离心率。【变式1】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ ） 【答案】D【变式2】椭圆上一点到两焦点的距离分别为，焦距为，若成等差数列，则椭圆的离心率为 【答案】例3. 设M为椭圆上一点，F1、F2为椭圆的焦

3、点，若MF1F2=75，MF2F1=15，求椭圆的离心率。【解析】 在MF1F2中，由正弦定理得即，。【变式1】以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于。 【答案】【变式2】已知椭圆的左焦点为F，右顶点A，上顶点为B，若BFBA，求离心率_。【解析】 根据题意，|AB2|=a2+b2，|BF|=a，|AF|=a+c，所以在RtABF中，有(a+c)2=a2+b2+a2，化简得c2+aca2=0，等式两边同除以a2，得e2+e1=0，解得。又0e1，。例4已知椭圆，F1，F2是两个焦点，若椭圆上存在一点P，使，求其离心率的取值范围。 【解析】F1PF2中，已知，|F1F2|=2c，|PF1|+|PF2|=2a，由余弦定理：4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos120又|PF1|+|PF2|=2a 联立 得4c2=4a2-|PF1|PF2|，【变式】已知椭圆，以，为系数的关于的方程无实根，求其离心率的取值范围。【答案】由已知，所以，即，不等式两边同除可得，解不等式得或.由椭圆的离心率，所以所求

4、椭圆离心率.例6. 已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程【解析】解法一：设所求直线的斜率为，则直线方程为代入椭圆方程，并整理得由韦达定理得是弦中点，故得所以所求直线方程为解法二：设过的直线与椭圆交于、，则由题意得 得将、代入得，即直线的斜率为所求直线方程为【变式1】已知点P（4，2）是直线被椭圆所截得线段的中点，求直线的方程.【答案】直线的方程为x+2y8=0【变式2】若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围。【答案】时，直线与椭圆恒有公共点 椭圆（2013高考题）（2013新课标全国高考文科5）设椭圆的左、右焦点分别为，是上的点，则的离心率为（ ） A. B. C. D.【解析】选D. 因为,所以。又，所以，即椭圆的离心率为，选D.(2013大纲版全国卷高考理科T8)椭圆C:的左、右顶点分别为,点P在C上且直线斜率的取值范围是,那么直线斜率的取值范围是() A. B. C. D.【解析】选B.设，则，故.因为,所以（2013大纲版全国卷高考文科8）已知F1（-1,0）,F2（1,0）是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交于A,B两点,且=3,则C的方程为()A. B.

5、C. D.【解析】选C.设椭圆得方程为，由题意知，又，解得或（舍去），而，故椭圆得方程为.（2013四川高考文科9）从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，是椭圆与轴正半轴的交点，是椭圆与轴正半轴的交点，且（是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ）A. B. C. D. 【解析】选C，根据题意可知点P，代入椭圆的方程可得，根据，可知，即，解得，即，解得，故选C.（2013广东高考文科9）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为，离心率等于，则C的方程是（ ） A B C D【解析】选D.设C的方程为，则，C的方程是.（2013辽宁高考文科11）已知椭圆的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF. 若|AB|=10,|BF|=8,cosABF=,则C的离心率为() A. B. C. D.【解析】选B.在三角形中，由余弦定理得,又解得在三角形中，故三角形为直角三角形.设椭圆的右焦点为，连接,根据椭圆的对称性，四边形为矩形，则其对角线且，即焦距又据椭圆的定义，得，所以.故离心率(2013江苏高考数学科T12) 在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为，右准线为，短轴的一个端点

6、为，设原点到直线的距离为，到的距离为，若，则椭圆的离心率为 【解析】由原点到直线的距离为得，因到的距离为故，又所以又解得（2013上海高考文科T12）与（2013上海高考理科T9）相同设AB是椭圆的长轴，点C在上，且.若AB=4，BC=，则的两个焦点之间的距离为 .【解析】 如图所示，以AB的中点O为坐标原点,建立如图所示的坐标系.（2013福建高考理科14）相同 椭圆: 的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=与椭圆的一个交点M满足MF1F2=2MF2F1,则该椭圆的离心率等于.【解析】MF1F2是直线的倾斜角,所以MF1F2=60,MF2F1=30,所以MF2F1是直角三角形,在RtMF2F1中,|F2F1|=2c,|MF1|=c,|MF2|=,所以.（2013辽宁高考理科15）已知椭圆的左焦点为，与过原点的直线相交于两点，连接若，则的离心率【解析】在三角形中，由余弦定理得,又，解得在三角形中，故三角形为直角三角形。设椭圆的右焦点为，连接,根据椭圆的对称性，四边形为矩形，则其对角线且，即焦距又据椭圆的定义，得，所以.故离心率（2013陕西高考文科20）已知动点M(x,y

7、)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍. (1) 求动点M的轨迹C的方程; (2) 过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A, B两点. 若A是PB的中点, 求直线m的斜率. 【解析】(1) 点M(x,y)到直线x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍，则.所以，动点M的轨迹为椭圆，方程为.(2) P(0, 3), 设，椭圆经检验直线m不经过这2点，即直线m斜率k存在。.联立椭圆和直线方程，整理得：所以，直线m的斜率.（2013四川高考理科20） 已知椭圆：的两个焦点分别为，且椭圆经过点（1）求椭圆的离心率； 2）设过点的直线与椭圆交于、两点，点是线段上的点，且，求点的轨迹方程【解析】(1)由椭圆定义知,2a=|PF1|+|PF2|=+=2,所以a=,又由已知,c=1,所以椭圆的离心率e=. (2)由(1)知,椭圆C的方程为+y2=1, 设点Q的坐标为(x,y).() 当直线l与x轴垂直时,直线l与椭圆C交于(0,1),(0,-1)两点,此时点Q的坐标为(0,2).() 当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=kx+2,因为M,N在直线l上，可设点M,N的坐标分

8、别为则|AM|2=(1+k2)x12, |AN|2=(1+k2)x22, 又|AQ|2=(1+k2)x2,由=+,得=+,即=+=, 将y=kx+2代入+y2=1中,得(2k2+1)x2+8kx+6=0. 由D=(8k)24(2k2+1)60,得k2.由可知,x1+x2=,x1x2=, 代入并化简得x2=. 因为点Q在直线y=kx+2上, 所以k=, 代入并化简,得10(y2)23x2=18.由及k2,可知0x2,即x(,0)(0,).又(0,2)满足10(y2)23x2=18, 故x(,).由题意,Q(x,y)在椭圆C内,所以1y1,又由10(y2)2=3x2+18有(y2)2,)且1y1, 则y(,2.所以,点Q的轨迹方程为10(y2)23x2=18,其中x(,), y(,2. 【巩固练习】1椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程是（ ）A.=1或=1B.=1或=1C.1或=1D.椭圆的方程无法确定2已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，且长轴为12，离心率为，则椭圆的方程是（ ）A B C D3若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，那么m的取值范围是（ ）A（0，5） B（0，1） C1，5 D1，5）4椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点。现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：，点A、B是它的两个焦点，当静止的小球放在点A处，从点A沿直线出发，经椭圆壁（非椭圆长轴端点）反弹后，再回到点A时，小球经过的最短路程是（ ） A20 B18 C16 D以上均有可能5.椭圆的两个焦点为，过作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则为（ ）

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