专题08 探究归纳问题（精讲）-2019年中考数学高频考点突破（解析版）

1、【课标解读】所谓探究性问题,是指问题的条件或结论尚不明确,需通过探究去补充条件或完善结论的一类问题.【解题策略】从讨论问题入手分析解决办法进行实验探究综合分析问题得到结论 【考点深剖】考点一 三角形综合探究【典例1】（2018湖北江汉10分）问题：如图，在RtABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为 ；探索：如图，在RtABC与RtADE中，AB=AC，AD=AE，将ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：如图，在四边形ABCD中，ABC=ACB=ADC=45若BD=9，CD=3，求AD的长【解答】解：（1）BC=DC+EC，理由如下：BAC=DAE=90，BACDAC=DAEDAC，即BAD=CAE，在BAD和CAE中，BADCAE，BD=CE，BC=BD+CD=EC+CD，故答案为：BC=DC+EC；（3）作AEAD，使AE=AD，连接CE，DE，BAC+CAD=DAE+CAD，即BAD=CAD，在BAD

2、与CAE中，BADCAE（SAS），BD=CE=9，ADC=45，EDA=45，EDC=90，DE=6，DAE=90，AD=AE=DE=6考点二 四边形综合探究【典例2】（2018江苏镇江9分）（1）如图1，将矩形ABCD折叠，使BC落在对角线BD上，折痕为BE，点C落在点C处，若ADB=46，则DBE的度数为 （2）小明手中有一张矩形纸片ABCD，AB=4，AD=9【画一画】如图2，点E在这张矩形纸片的边AD上，将纸片折叠，使AB落在CE所在直线上，折痕设为MN（点M，N分别在边AD，BC上），利用直尺和圆规画出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；【算一算】如图3，点F在这张矩形纸片的边BC上，将纸片折叠，使FB落在射线FD上，折痕为GF，点A，B分别落在点A，B处，若AG=，求BD的长；【验一验】如图4，点K在这张矩形纸片的边AD上，DK=3，将纸片折叠，使AB落在CK所在直线上，折痕为HI，点A，B分别落在点A，B处，小明认为BI所在直线恰好经过点D，他的判断是否正确，请说明理由【解答】解：（1）如图1中，四边形ABCD是矩形，ADBC，ADB=DBC=

3、46，由翻折不变性可知，DBE=EBC=DBC=23，故答案为23学科*网（2）【画一画】，如图2中，【算一算】如图3中，由翻折不变性可知，BFG=DFG，DFG=DGF，DF=DG=，CD=AB=4，C=90，在RtCDF中，CF=，BF=BCCF=，由翻折不变性可知，FB=FB=，DB=DFFB=3【验一验】如图4中，小明的判断不正确理由：连接ID，在RtCDK中，DK=3，CD=4，CK=5，ADBC，DKC=ICK，由折叠可知，ABI=B=90，IBC=90=D，CDKIBC，=，即=，考点三 图形变换综合探究【典例3】（2018临沂）将矩形ABCD绕点A顺时针旋转（0360），得到矩形AEFG（1）如图，当点E在BD上时求证：FD=CD；（2）当为何值时，GC=GB？画出图形，并说明理由【分析】（1）先运用SAS判定AEDFDE，可得DF=AE，再根据AE=AB=CD，即可得出CD=DF；（2）当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据DAG=60，即可得到旋转角的度数【解答】解：（1）由旋转可得，AE=AB，AEF=ABC=DAB=90，EF=BC=AD

4、，AEB=ABE，（2）如图，当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论：当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，当点G在AD左侧时，同理可得ADG是等边三角形，DAG=60，旋转角=36060=300学科*网考点四 圆的综合探究【典例4】（2018湖北恩施10分）如图，AB为O直径，P点为半径OA上异于O点和A点的一个点，过P点作与直径AB垂直的弦CD，连接AD，作BEAB，OEAD交BE于E点，连接AE、DE、AE交CD于F点（1）求证：DE为O切线；（2）若O的半径为3，sinADP=，求AD；（3）请猜想PF与FD的数量关系，并加以证明【解答】证明：（1）如图1，连接OD、BD，BD交OE于M，AB是O的直径，ADB=90，ADBD，OEAD，OEBD，BM=DM，OB=OD，BOM=DOM，OE=OE，BOEDOE（SAS），ODE=OBE=90，DE为O切线；（2）设AP=a，sinADP=，AD=3a，PD=2a，OP=3a，OD2=OP2+PD2，32=（3a）2+（2a）2，9=96a+a2+8a2，a1=，a2=0（舍），当a=时，AD

5、=3a=2，AD=2；【讲透练活】变式1：（2016浙江省湖州市3分）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=7如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得DAC=ACD如图3，将ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED则BE的长是（）A4 B C3D2【考点】翻折变换（折叠问题）；四点共圆；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质【分析】只要证明ABDMBE，得=，只要求出BM、BD即可解决问题DAM=DAC=DBA，ADM=ADB，ADMBDA，=，即=，DM=，MB=BDDM=，ABM=C=MED，A、B、E、D四点共圆，ADB=BEM，EBM=EAD=ABD，ABDMBE，=，BE=来源:学_科_网Z_X_X_K故选B变式2：（2018湖北咸宁10分）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”理解：（1）如图1，已知RtABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形（

6、保留画图痕迹，找出3个即可）；（2）如图2，在四边形ABCD中，ABC=80，ADC=140，对角线BD平分ABC求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；（3）如图3，已知FH是四边形EFCH的“相似对角线”，EFH=HFG=30，连接EG，若EFG的面积为2，求FH的长【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）FH=2【详解】（1）由图1知，AB=，BC=2，ABC=90，AC=5，四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，当ACD=90时，ACDABC或ACDCBA，或，CD=10或CD=2.5同理：当CAD=90时，AD=2.5或AD=10，（2）ABC=80，BD平分ABC，ABD=DBC=40，A+ADB=140ADC=140，BDC+ADB=140，A=BDC，ABDBDC，BD是四边形ABCD的“相似对角线”；变式3：（2018浙江宁波14分）如图1，直线l：y=x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点（0AC）以点A为圆心，AC长为半径作A交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交A于点F（1）求直线l的函数表达式和

7、tanBAO的值；（2）如图2，连结CE，当CE=EF时，求证：OCEOEA；求点E的坐标；（3）当点C在线段OA上运动时，求OEEF的最大值【考点】待定系数法，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理【解答】解：直线l：y=x+b与x轴交于点A（4，0），4+b=0，b=3，直线l的函数表达式y=x+3，B（0，3），OA=4，OB=3，在RtAOB中，tanBAO=；（2）如图2，连接DF，CE=EF，CDE=FDE，CDF=2CDE，OAE=2CDE，OAE=ODF，四边形CEFD是O的圆内接四边形，OEC=ODF，OEC=OAE，COE=EOA，COEEOA，过点EOA于M，由知，tanOAB=，设EM=3m，则AM=4m，OM=44m，AE=5m，E（44m，3m），AC=5m，OC=45m，由知，COEEOA，OE2=OAOC=4（45m）=1620m，E（44m，3m），（44m）2+9m2=25m232m+16，25m232m+16=1620m，m=0（舍）或m=，44m=，3m=，（，），连接FH，EH是O直径，EH=2r，EFH=90=EGO，OEG=HEF，

8、OEGHEF，OEEF=HEEG=2r（r）=2（r）2+，r=时，OEEF最大值为学科*网变式4：（2018浙江衢州12分）如图，RtOAB的直角边OA在x轴上，顶点B的坐标为（6，8），直线CD交AB于点D（6，3），交x轴于点C（12，0）（1）求直线CD的函数表达式；（2）动点P在x轴上从点（10，0）出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，过点P作直线l垂直于x轴，设运动时间为t点P在运动过程中，是否存在某个位置，使得PDA=B？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；请探索当t为何值时，在直线l上存在点M，在直线CD上存在点Q，使得以OB为一边，O，B，M，Q为顶点的四边形为菱形，并求出此时t的值【考点】一次函数、待定系数法、菱形的判定、平行线分线段成比例定理【解答】解：（1）设直线CD的解析式为y=kx+b，则有，解得，直线CD的解析式为y=x+6（2）如图1中，作DPOB，则PDA=BDPOB， =， =，PA=，OP=6=，P（，0），根据对称性可知，当AP=AP时，P（，0），满足条件的点P坐标为（，0）或（，0）如图2中，当OP=OB=10时，作PQOB交CD于Q

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