专题01 空间几何体的结构特征及三视图与直观图(解析版)
11页1、12020年高考数学立体几何突破性讲练01 空间几何体的结构特征及三视图与直观图一、考点传真:1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构;2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二测画法画出它们的直观图;3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式.二、知识点梳理:1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点,但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等,垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环2.直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是:(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x轴、y轴的夹角为45(或135),z轴与x轴、y轴所在平面垂直.(2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分
2、别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.3.三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图,分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.(2)三视图的画法基本要求:长对正,高平齐,宽相等.在画三视图时,重叠的线只画一条,挡住的线要画成虚线.三、例题:例1.(2019天津)已知四棱锥的底面是边长为的正方形,侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为 .【答案】【解析】 由题可知,四棱锥底面正方形的对角线长为2,且垂直相交平分,由勾股定理得,正四棱锥的高为2.因为圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,则圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于1,即半径等于,由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半,为1.所以该圆柱的体积为.例2.(2019北京)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示。如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为_.【答案】40【解析】由三视图还原原几何体如图所示,该几何体是
3、把棱长为4的正方体去掉一个四棱柱,则该几何体的体积.例3.(2018北京)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为A1 B2 C3 D4【答案】C【解析】解法一 将三视图还原为直观图,几何体是底面为直角梯形,且一条侧棱和底面垂直的四棱锥,如图所示,易知,平面,故,为直角三角形,平面,平面,又,且,平面,又平面,为直角三角形,容易求得,故不是直角三角形,故选C解法二 在正方体中作出该几何体的直观图,记为四棱锥,如图,由图可知在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为3,故选C例4.(2018全国卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是【答案】A【解析】由题意知,在咬合时带卯眼的木构件中,从俯视方向看,榫头看不见,所以是虚线,结合榫头的位置知选A例5.(2017新课标)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形
4、,这些梯形的面积之和为A10 B12 C14 D16【答案】B【解析】由题意可知,该几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成,则表面所有梯形之和为选B例6.(2017北京)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为A3 B2 C2 D2【答案】B【解析】借助正方体可知粗线部分为该几何体是四棱锥,最长的棱长是体对角线,所以选B四、巩固练习:1.某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是()A.圆柱 B.圆锥C.四面体 D.三棱柱【答案】A【解析】由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形,而圆柱的正视图不可能为三角形.2.如图,长方体ABCDABCD被截去一部分,其中EHAD.剩下的几何体是()A.棱台 B.四棱柱C.五棱柱 D.六棱柱【答案】C【解析】由几何体的结构特征,剩下的几何体为五棱柱.3.用斜二测画法画水平放置的矩形的直观图,则直观图的面积与原矩形的面积之比为()A. B. C. D.【答案】D【解析】设原矩形的长为a,宽为b,则其直观图是长为a,高为sin 45b的平行四边形,所以.故选D.4.给出下列命题:在圆柱的上、下底面的圆周上各取一
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