广东省2019届高三上学期期末联考数学理试题（解析版）

1、华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考理科数学第一部分 选择题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则复数的共轭复数的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由复数的运算法则直接计算即可.【详解】，虚部为【点睛】本题主要考查复数的运算法则，属于基础题型.2.设，则下列不等式中恒成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由不等式的性质，逐项判断即可.【详解】对于A，当a为正数，b为负数时，所以，A错误；对于B，当a2，b时，B不成立，所以错误。对于C，所以选项C正确；对于D，取反例：【点睛】本题主要考查不等式的性质，属于基础题型.3.已知是等比数列，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求公比，再求,最后根据等比数列前n项和公式的结果.【详解】，.，故,选C.【点睛】本题考查等比数列前n项和公式以及通项公式,考查基本求解能力,属基础题.4.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设、为两个同高的几何体， 、的体积不

2、相等， 、在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，是的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】的体积相等，在同高处的截面积相等，由于A、B体积相等，A、B在同高处的截面积不恒相等，譬如一个为柱体另一个为椎体，所以条件不充分；反之成立，条件是必要的，因此是的必要不充分条件.选B.5.如图是一个算法流程图，若输入的值为，输出的值是，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出，即可得到输出条件.详解：输入，第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环，输出，此时应满足退出循环的条件，故的取值范围是，故选B.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图

3、求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6.如图，在正方形区域内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用定积分先求出阴影部分的面积，再由几何概型的计算公式计算即可.【详解】阴影部分的面积，正方形面积为，所以所求概率为.【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型.7.已知函数，R，先将图像上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将得到的图像上所有点向右平移 个单位长度，得到的图像关于轴对称，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因，将其图像上的点的横坐标缩短到原来的后所得函数的解析式为， 图像在轴左侧的第一条对称轴，故至少向右平移个单位就可以得到关于轴对称的图像，选C.点睛：若三角函数的图像平移后得到的图像为奇函数或偶函数的图像，那么最小的平移往往和轴附近的对称轴或对称中心有关.8.的展开式中常数项为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】 的通项为， ，根据式子可知当 或 时有常数项，令 ; 令;故所求常数项为 ，故选C.【点睛】求解与二项式相关的复杂式子

4、的一般方法及步骤是：将复杂式子分解转化成与简单的二项式相关的式子根据条件找到符合条件的二项式的项，利用二项式的通项求出符合条件的项，整合最终得出所求9.已知是边长为2的等边三角形边上的动点，则的值（ ）A. 有最大值 B. 是定值 C. 有最小值 D. 与点的位置有关【答案】B【解析】【分析】先设 =，=，=t ，然后用 和 表示出 ，再由 =+将 =、=t 代入可用 和 表示出 ，最后根据向量的线性运算和数量积运算可求得 的值，从而可得到答案【详解】设 = = =t 则 =，2=4=2=22cos60=2=+=+t=1t+t , +=+,+=1t+t +=1t2+1t+t+t 2=1t4+2+t4=6故答案为：B【点睛】本题主要考查向量的数量积运算和向量的线性运算高考对向量的考查一般不会太难，以基础题为主，而且经常和三角函数练习起来考查综合题，平时要多注意这方面的练习10.函数的部分图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意结合函数的奇偶性和函数在特殊点的函数值确定函数图像即可.【详解】函数f（x）的定义域为（-，-）（-，）（，+）f（-x）=f（x）

5、，f（x）为偶函数，f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，令f（x）=0，即=0，解得x=0，函数f（x）只有一个零点，故排除D，当x=1时，f（1）=0，故排除C，综上所述，只有B符合，本题选择B选项.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象利用上述方法排除、筛选选项11.设、分别是椭圆（）的左、右焦点，若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】结合题意，计算出，结合两点距离公式，距离方程，用c表示m，结合，建立关于e的不等式，计算范围，即可。【详解】设，由线段的中垂线过点得，即，得，即，得，解得，故，故选D.【点睛】本道题考查了椭圆的性质，考查了离心率的计算方法，关键构造关于e的不等式，计算范围，即可，难度偏难。12.已知函数，则函数的所有零点之和等于( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先将函数用倍

6、角公式化简，再由求出所有零点，即可得出结果.【详解】，由得到或者.当时，；当时，；所以的所有零点之和等于，选D.另解：可以将零点问题转化为函数图像的交点问题，令，则，在同一坐标系中画出函数和的图像，如图所示，两个函数图像在区间有7个交点，所以有7个零点，其中3个零点是，另外四个零点为图中的，由对称性可知，所以的所有零点之和等于，选D. 【点睛】本题主要考查三角函数的零点问题，结合三角函数的图像和性质，易求出结果.第二部分 非选择题二、填空题.请将答案填在答题卡的相应位置上.13.已知直线与圆相交于，两点，且为等腰直角三角形，则实数的值为_【答案】1或-1【解析】因为ABC是等腰直角三角形，所以圆心C(1，a)到直线axy10的距离drsin 45，即，所以a1.14.某化肥厂生产甲、乙两种肥料，生产一车皮甲肥料需要磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产一车皮乙肥料需要磷酸盐1吨、硝酸盐15吨.已知生产一车皮甲肥料产生的利润是10万元，生产一车皮乙肥料产生的利润是5万元.现库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，如果该厂合理安排生产计划，则可以获得的最大利润是_万元.【答案】30【解析】【分析】先由题意

7、列出不等式组，得到目标函数，结合不等式组所对应的平面区域，即可求出目标函数的最值，从而得出结果.【详解】设该厂生产车皮甲肥料，车皮乙肥料获得的利润为万元，则约束条件为，目标函数为，如图所示，最优解为，所以.【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，属于基础题型.15.已知等差数列的前项和为，且，数列的前项和为，且对于任意的N*，则实数的取值范围为_【答案】.【解析】依题意，设等差数列的公差为，因为，故，故.又，故，故，故，故，所以，所以，所以，因为，即，显然，所以，又，当且仅当时，等号成立，所以.所以.答案为：.点睛：数值最值的求解方法如下：1邻项比较法，求数列的最大值，可通过解不等式组 求得的取值范围；求数列的最小值，可通过解不等式组 求得的取值范围；2数形结合，数列是一特殊的函数，分析通项公式对应函数的特点，借助函数的图像即可求解；3单调性法，数列作为特殊的函数，可通过函数的单调性研究数列的单调性，必须注意的是数列对应的是孤立的点，这与连续函数的单调性有所不同；也可以通过差值的正负确定数列的单调性16.在半径为4的球的球面上有不同的四点，若，则平面被球所截得的图形的面积_【答案】【解

8、析】设球心为，则，所以在平面上射影是的外心，同理在平面上射影也是的外心因且，故在平面的异侧，如图所示，等边三角形中，故，又为平面截所球得圆的半径，故圆的面积为点睛：题设中，结合球的半径为，故我们可以确定出在平面的两侧，从而求出的外接圆的半径三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，在中，角，的对边分别为，且.(1)求的大小；（2）若，点、在的异侧，求平面四边形面积的最大值.【答案】(1) （2）【解析】【分析】(1)由正弦定理将化为，再由两角和的正弦公式化简，即可求出结果；(2)先由余弦定理求出的长，将平面四边形的面积转化为两三角形与面积之和，即可求解.【详解】（1）因为，且，所以在中，所以 所以所以 因为在中，所以 因为是的内角所以.（2）在中， 因为是等腰直角三角形，所以所以平面四边形的面积 因为，所以 所以当时， 此时平面四边形的面积有最大值【点睛】本题主考查解三角形，属于基础题型.18.等边三角形的边长为3,点、分别是边、上的点,且满足(如图1).将沿折起到的位置,使二面角为直二面角,连结、 (如图2).（1）求证:平面;（2）在线段上是否存在点,使直线与平面所成的角为?若存在,求出线段的长; 若不存在,请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）等边中，根据,得到,.，由余弦定理算出，从而得到，所以结合题意得平面平面，利用面面垂直的性质定理，可证出平面;；（2）以为坐标原点,以射线、分别为轴、轴、轴的正半轴,建立空间直角坐标系如图根据直线与平面所成的角为，利用空间向量可得在线段上存在点使直线与平面所成的角为,此时 .【详解】证明:(1)因为等边的边长为3,且, 所以,. 在中, 由余弦定理得. 因为, 所以. 折叠后有,因为二面角是直二面角,所以平面平面 ,又平面平面,

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