数学建模经典案例4

1、第十章统计回归模型10.1牙膏的销售量10.2软件开发人员的薪金10.3酶促反应10.4投资额与国民生产总值和物价指数10.5教学评估10.6冠心病与年龄回归模型是用统计分析方法建立的最常用的一类模型.数学建模的基本方法机理分析测试分析通过对数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型.不涉及回归分析的数学原理和方法.通过实例讨论如何选择不同类型的模型.对软件得到的结果进行分析，对模型进行改进.由于客观事物内部规律的复杂及人们认识程度的限制无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的数学模型.10.1牙膏的销售量问题建立牙膏销售量与价格、广告投入之间的模型预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量.收集了30个销售周期本公司牙膏销售量、价格、广告费用，及同期其他厂家同类牙膏的平均售价.9.260.556.804.253.70307.930.055.803.853.80298.510.256.754.003.7527.38-0.055.503.803.851销售量(百万支)价格差（元）广告费用(百万元)其他厂家价格(元)本公司价格(元)销售周期基本模型y公司牙膏销售量x1其他厂家与本公司价

2、格差x2公司广告费用x2yx1yx1x2解释变量(回归变量自变量)y被解释变量（因变量）0123回归系数随机误差（均值为零的正态分布随机变量）MATLAB统计工具箱模型求解bbintrrintstats=regress(yxalpha)输入x=n4数据矩阵第1列为全1向量alpha(置信水平0.05)b的估计值bintb的置信区间r残差向量y-xbrintr的置信区间Stats检验统计量R2Fps2yn维数据向量输出由数据yx1x2估计参数参数估计值置信区间17.32445.728228.92061.30700.68291.9311-3.6956-7.49890.10770.34860.03790.6594R2=0.9054F=82.9409p0.0001s2=0.04900123结果分析y的90.54%可由模型确定参数参数估计值置信区间17.32445.728228.92061.30700.68291.9311-3.6956-7.49890.10770.34860.03790.6594R2=0.9054F=82.9409p0.0001s2=0.04900123F远超过F检验的临界值p

3、远小于=0.052的置信区间包含零点(右端点距零点很近)x2对因变量y的影响不太显著x22项显著可将x2保留在模型中模型从整体上看成立销售量预测价格差x1=其他厂家价格x3-本公司价格x4估计x3调整x4控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=6.5百万元销售量预测区间为7.8230，8.7636（置信度95%）上限用作库存管理的目标值下限用来把握公司的现金流若估计x3=3.9，设定x4=3.7，则可以95%的把握知道销售额在7.83203.729（百万元）以上控制x1通过x1x2预测y(百万支)模型改进x1和x2对y的影响独立参数参数估计值置信区间17.32445.728228.92061.30700.68291.9311-3.6956-7.49890.10770.34860.03790.6594R2=0.9054F=82.9409p0.0001s2=0.04260123参数参数估计值置信区间29.113313.701344.525211.13421.977820.2906-7.6080-12.6932-2.52280.67120.25381.0887-1.4777-2.8518-

4、0.1037R2=0.9209F=72.7771p0.0001s2=0.049030124x1和x2对y的影响有交互作用两模型销售量预测比较预测区间7.8230，8.7636预测区间7.8953，8.7592控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=6.5百万元预测区间长度更短略有增加预测值预测值x2=6.5x1=0.2x1x1x2x2两模型与x1x2关系的比较交互作用影响的讨论价格差x1=0.1价格差x1=0.3加大广告投入使销售量增加（x2大于6百万元）价格差较小时增加的速率更大x2价格优势会使销售量增加价格差较小时更需要靠广告来吸引顾客的眼球完全二次多项式模型MATLAB中有命令rstool直接求解从输出Export可得鼠标移动十字线(或下方窗口输入)可改变x1x2左边窗口显示预测值及预测区间牙膏的销售量建立统计回归模型的基本步骤根据已知数据从常识和经验分析辅之以作图决定回归变量及函数形式(先取尽量简单的形式).用软件(如MATLAB统计工具箱)求解.对结果作统计分析:R2Fps2是对模型整体评价回归系数置信区间是否含零点检验其影响的显著性.模型改进如增添二次项、交互项等.对因变

5、量进行预测.10.2软件开发人员的薪金资历从事专业工作的年数；管理1=管理人员0=非管理人员；教育1=中学，2=大学，3=更高程度.建立模型研究薪金与资历、管理责任、教育程度的关系.分析人事策略的合理性，作为新聘用人员薪金的参考.编号薪金资历管理教育0113876111021160810303187011130411283102编号薪金资历管理教育422783716124318838160244174831601451920717024619346200146名软件开发人员的档案资料分析与假设y薪金，x1资历（年）x2=1管理人员，x2=0非管理人员1=中学2=大学3=更高假设资历每加一年薪金的增长是常数；且管理、教育、资历之间无交互作用.教育线性回归模型a0a1a4是待估计的回归系数，是随机误差中学：x3=1x4=0；大学：x3=0 x4=1；更高：x3=0 x4=0模型求解参数参数估计值置信区间a0110331025811807a1546484608a2688362487517a3-2994-3826-2162a4148-636931R2=0.9567F=226p0.0001s2=

6、106R2Fp模型整体上可用资历增加1年薪金增长546管理人员薪金多6883中学程度薪金比更高的少2994大学程度薪金比更高的多148a4置信区间包含零点，解释不可靠!中学：x3=1x4=0大学：x3=0 x4=1更高：x3=0 x4=0.x2=1管理，x2=0非管理x1资历(年)残差分析方法结果分析残差e与资历x1的关系e与管理教育组合的关系残差全为正或全为负管理教育组合处理不当.残差大概分成3个水平6种管理教育组合混在一起，未正确反映.应在模型中增加管理x2与教育x3x4的交互项.组合123456管理010101教育112233管理与教育的组合进一步的模型增加管理x2与教育x3x4的交互项参数参数估计值置信区间a0112041104411363a1497486508a2704868417255a3-1727-1939-1514a4-348-545152a5-3071-3372-2769a6183615712101R2=0.9988F=554p0.0001s2=3104R2F有改进所有回归系数置信区间不含零点模型完全可用消除了不正常现象异常数据(33号)应去掉!ex1e组合去掉异常数

7、据后的结果参数参数估计值置信区间a0112001113911261a1498494503a2704169627120a3-1737-1818-1656a4-356-431281a5-3056-31712942a6199718942100R2=0.9998F=36701p0.0001s2=4103ex1e组合R2:0.95670.99880.9998F：22655436701s2:10431044103置信区间长度更短残差图十分正常最终模型的结果可以应用模型应用制订6种管理教育组合人员的“基础”薪金(资历为0）组合管理教育系数“基础”薪金101a0+a39463211a0+a2+a3+a513448302a0+a410844412a0+a2+a4+a619882503a011200613a0+a218241中学：x3=1x4=0；大学：x3=0 x4=1；更高：x3=0 x4=0 x1=0；x2=1管理，x2=0非管理大学程度管理人员比更高程度管理人员的薪金高.大学程度非管理人员比更高程度非管理人员的薪金略低.对定性因素(如管理、教育)，可以引入0-1变量处理，0-1变量的个数可比定性因

8、素的水平少1.软件开发人员的薪金残差分析方法可以发现模型的缺陷，引入交互作用项常常能够改善模型.剔除异常数据，有助于得到更好的结果.注：可以直接对6种管理教育组合引入5个0-1变量.10.3酶促反应问题研究酶促反应（酶催化反应）中嘌呤霉素对反应速度与底物（反应物）浓度之间关系的影响.建立数学模型，反映该酶促反应的速度与底物浓度以及经嘌呤霉素处理与否之间的关系.设计了两个实验：酶经过嘌呤霉素处理；酶未经嘌呤霉素处理.实验数据见下表.方案底物浓浓度(ppm)0.020.060.110.220.561.10反应应速度处处理764797107123139159152191201207200未处处理6751848698115131124144158160基本模型Michaelis-Menten模型y酶促反应的速度x底物浓度12待定系数底物浓度较小时，反应速度大致与浓度成正比；底物浓度很大、渐进饱和时，反应速度趋于固定值.酶促反应的基本性质xy01实验数据经嘌呤霉素处理xy未经嘌呤霉素处理xy线性化模型经嘌呤霉素处理后实验数据的估计结果参数参数估计值计值（10-3）置信区间间（10-3）15.10

9、723.53866.675820.24720.17570.3188R2=0.8557F=59.2975p0.0001s2=3.580610-6对12非线性对12线性线性化模型结果分析x较大时，y有较大偏差1x较小时有很好的线性趋势，1x较大时出现很大的起落参数估计时，x较小（1x很大）的数据控制了回归参数的确定1y1xxybetaRJ=nlinfit(xymodelbeta0)beta的置信区间MATLAB统计工具箱输入x自变变量数据矩阵y因变量数据向量beta参数的估计值R残差，J估计预测误差的Jacobi矩阵model模型的函数M文件名beta0给定的参数初值输出betaci=nlparci(betaRJ)非线性模型参数估计functiony=f1(betax)y=beta(1)x.(beta(2)+x)x=y=beta0=195.80270.04841betaRJ=nlinfit(xyf1beta0)betaci=nlparci(betaRJ)betabetacibeta0线性化模型估计结果非线性模型结果分析参数参数估计值计值置信区间间1212.6819197.2029228.160920.06410.04570.0826画面左下方的Export输出其它统计结果.拖动画面的十字线，得y的预测值和预测区间剩余标准差s=10.9337最终反应速度为其他输出命令nlintool给出交互画面o原始数据+拟合结果半速度点(达到最终速度一半时的x值)为混合反应模型x1为底物浓度，x2为一示性变量x2=1表示经过处理，x2=0表示未经处理1是未经处理的最终反应速度1是经处理后最终反应速度的增长值2是未经处理的反应的半速度点2是经处理后反应的半速度点的增长值在同一模型中考虑嘌呤霉素处理的影响o原始数据+拟合结果混合模型求解

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