【5年高考3年模拟】2019版数学(理)课件:3.2-导数的应用(含答案)
178页1、3.2 导数的应用 高考理数 ( 课标专用) 考点一 函数的单调性 1.(2018课标,21,12分)已知函数f(x)= -x+aln x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明: 2,令f (x)=0,得x= 或x= . 当x 时, f (x)0. 所以f(x)在 , 单调递减,在 单调递增. (2)由(1)知, f(x)存在两个极值点当且仅当a2. 由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0, 所以x1x2=1,不妨设x11, 由于 =- -1+a =-2+a =-2+a , 所以 0,则F(x)在(a,b)上是增函数,同 时若F(a)0,由增函数的定义可知,x(a,b)时,有F(x)0,即证明了f(x)g(x). 2.(2017课标,21,12分)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围. 解析 本题考查导数的运算和应用、函数的单调性以及函数的零点,考查学生的运算求解能 力、推理论证能力以及对分类讨论思想的应用能力. (1)f(x)的定义域为(-
2、,+), f (x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1). (i)若a0,则f (x)0,则由f (x)=0得x=-ln a. 当x(-,-ln a)时, f (x)0.所以f(x)在(-,-ln a)单调递减,在(-ln a,+ )单调递增. (2)(i)若a0,由(1)知, f(x)至多有一个零点. (ii)若a0,由(1)知,当x=-ln a时, f(x)取得最小值,最小值为f(-ln a)=1- +ln a. 当a=1时,由于f(-ln a)=0,故f(x)只有一个零点; 当a(1,+)时,由于1- +ln a0,即f(-ln a)0, 故f(x)没有零点; 当a(0,1)时,1- +ln a0,故f(x)在(-,-ln a)有一个零点. 设正整数n0满足n0ln ,则f(n0)= (a +a-2)-n0 -n0 -n00. 由于ln -ln a,因此f(x)在(-ln a,+)有一个零点. 综上,a的取值范围为(0,1). 思路分析 (1)先求f(x)的导数f (x),再对a分区间讨论f (x)的正负,从而得到f(x)的单调性;(2)结 合第(1)问
3、函数的单调性,分析出函数存在两个零点的条件,进而确定参数的范围. 方法总结 (1)利用导数研究函数的单调性的原理: 若f (x)0,xD恒成立,则在区间D上函数f(x)单调递增;若f (x)0, f(x)单调递增; x(-2,1)时, f (x)0,g(t)为增函数;当t 时,g(t)0; (2)若x=0是f(x)的极大值点,求a. 解析 本题考查导数与函数的单调性、导数与函数的极值. (1)当a=0时, f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x, f (x)=ln(1+x)- . 设函数g(x)=f (x)=ln(1+x)- ,则g(x)= . 当-10. 故当x-1时,g(x)g(0)=0,且仅当x=0时,g(x)=0, 从而f (x)0,且仅当x=0时, f (x)=0. 所以f(x)在(-1,+)单调递增. 又f(0)=0,故当-10. (2)(i)若a0,由(1)知,当x0时, f(x)(2+x)ln(1+x)-2x0=f(0),这与x=0是f(x)的极大值点矛盾. (ii)若a0,则当00,g(x)单调递增. 所以x=1是g(x)的极小值点,故g(x)g(1)=0. 综上,
4、a=1. (2)由(1)知f(x)=x2-x-xln x, f (x)=2x-2-ln x. 设h(x)=2x-2-ln x,则h(x)=2- . 当x 时,h(x)0. 所以h(x)在 单调递减,在 单调递增. 又h(e-2)0,h 0;当x(x0,1)时,h(x)0. 因为f (x)=h(x),所以x=x0是f(x)的唯一极大值点. 由f (x0)=0得ln x0=2(x0-1),故f(x0)=x0(1-x0). 由x0(0,1)得f(x0)f(e-1)=e-2,所以e-2 . 令g(x)= ,则g(x)= . 当x 时,g(x)0,g(x)为增函数, 要满足题意,则x0=2,此时需满足g(2)0时, 0,所以函数f(x)=ax3-3x2+1在(-,0)与 上为增函数,在 上为减函数,因为 f(x)存在唯一零点x0,且x00,则f(0)0,即a -3 +10,解得a2或a0时,h(x)=ax(x-2)e-x. 当x(0,2)时,h(x)0. 所以h(x)在(0,2)单调递减,在(2,+)单调递增. 故h(2)=1- 是h(x)在0,+)的最小值. 若h(2)0,即a0时,exx2,
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