群与图的若干问题

1、郑州大学 博士学位论文 群与图的若干问题 姓名：姚俊红 申请学位级别：博士 专业：基础数学 指导教师：黄建华 20090501 摘要 本论文研究的是群与图的问题，主要包括小度数C a y l e y 图，3 度半对称图及广 义正规子群与群的结构三部分内容 群G 的C a y l e y 图X = C a y ( G ，S ) 称为正规的，如果右乘变换群R ( G ) 在A u t X 中正规在本文第二章中，我们研究了4 矿阶二面体群的3 度C a y l c y 图的正规性，得 到了两个图正则表示和一类非正规的C a y l e y 图，其中P 是大于3 的素数另外，还得 到了几类给定正规性的半二面体群C a y l e y 图的同构 设G A u t X 传递的作用在点集v ( x ) ( 或边集E ( x ) ) 上，我们说x 是G 一点传递 的( 或G 边传递的) 特别地，当G = A u t X 时，我们说x 是点传递的( 或边传递的) 若A u t X 传递的作用在弧集合A ( X ) 上，则称图x 足弧传递的或对称的正则的边 传递但非点传递图x 称为半对称图在本文第三章中，

2、我们对6 p g 阶半对称进行了 分类，其中P 和g 都是奇素数且有3 ，其中( i ，2 矿) = 1 若S = ，a ，6 ) ，取 仃：， 其中( i ，2 p 2 ) = 1 显然o r A u t G ，且 【口，a ，6 ) 。= o ，a ，” 因此在同构意义下仅需考虑 o ，a ，耐即可 若S = ，a ，a p 2 ，则 ( S ) = ( a ) G ， 故情况( 1 2 ) 不可能出现 ( 2 ) S 中不含2 矿阶元且s 中元不全为2 阶元 s 中的非2 p 2 阶元且非2 阶元的元素的阶数是矿，2 p ，P ，其元素形式为：，( i ，2 p 2 ) 1 ，矿因此s 为以下两种情况： ( 2 1 ) S = ，a 一，扩) ，其中( i ，2 p 2 ) 1 ，P 2 ； ( 2 2 ) S = a i ，a 一，6 ) ，其中( i ，妒) 1 ，P 2 对于上述两种情况来说，都有 ( S ) ( a ，b ) = G ， 故情况( 2 1 ) 和情况( 2 2 ) 均不可能出现 ( 3 ) S 中仅有2 阶元 I 主l - ：A u t G 在集合 a J

3、 b l j 锄 上的作用是传递的，故我们不妨设6 S 因 此S 可为以下两种情况： ( 3 1 ) S = a b ，a J b ，6 ，其中i ，J Z 2 r a o ) ，i JR ( i ，J ) 呈磊p 2 ； ( 3 2 ) S = a 南b ，b ，) ，其中后锄 o ) R ( k ，矿) 竺Z 2 f 对于情形( 3 1 ) 来说，可以分为 ，J 中至少有一个是珞中的元和i ，J 都T - 1 - 艇甘_ ：z 一, 2 p 。 中的元这两种情况进行讨论 若i ，歹中至少有一个是珞中的元，不妨设歹取 盯： = ， 显然盯A u t G 且 6 ，a b ，a t b 矿= 【6 ，a i b ，6 ， 其中亡= i - l j 由i 的任意性，可知可以取易矿中任意不为0 和1 的元 设= p ，a b ，a t 6 ) ，其中s 的下标t 与b 中是相一致的下面考虑S 在A u t G 作用下的轨道 群G 的任一同构映射有如下形式： 妒： ：二三6 ， 其中i 珞，J ：因而有 蹬= 凼，a i + J b ，a U + J b 设S ，= p ，a b ，n ，6

4、 ，R t t 若存在群G 的一个同构映射妒使得 s I = S f 当且仅当 若J = 0 ，则有 a l b ，”6 ，o 抗卅6 ) = 6 ，a b ，口t 舛 i + 歹，t i + 歹) = l ，t 7 ) ， 进而可以得到 t t 兰1 ( m o d 2 p 2 1 若J = 1 。则有 i + 歹，t i + 歹) = 0 ，t ， 进而有 t + t 兰1 ( m o d 2 p 2 ) 或t ( 1 一t 7 ) 兰l ( m o d 2 p 2 ) 若J = t ，则有 ( i + J ，t i + 歹) = o ，1 ， 进而有 ，( 1 一t ) 兰l ( m o d 2 p 2 ) 或者一1 ) 三t ( m o d 2 p 2 ) 因此S ，与& 在A u t G 作用下同构当且仅当t 与t 满足下列条件之一：t t 三 l ( m o d 2 p 2 ) ；t + t 兰l ( m o d 2 p 2 ) ；t ( 1 一t ) 兰l ( m o d 2 p 2 ) ；t ( 1 一t ) 三l ( m o d 2 p 2 ) ；t 7 ( t 一

5、1 ) 三t ( m o d 2 p 2 ) 若i ，J 都不是珞中的元，又( i ，歹) 垡Z 2 f ，则z ，J 必为一奇数和一偶数否则 若lJ 均为偶数，则( z ，J ) ( 2 ) ，矛盾若iJ 均为奇数且都不足珞中的元，则i ，歹三 O ( m o d p ) ，从而( i ，J ) 妇) ，矛盾不妨设i 为奇数，歹为偶数根据磊矿中元的形式 可知，i = 矿或i = l l P ，其中z 1 假设i = 矿由于o ( a J ) = o ( a 2 ) ，则存在矿A u t G 使得 从而 又取 显然口A u t G ，且 ( ) 仃= a 2 ，矿= b 6 ，a p 2 b ，6 ，盯= 6 Ia p 2 b ，a 26 ) f 口_ 0 p 2 + 2 引t6 _ 矶 6 ，a p 2 b ，a b 口= 协6 ，n 26 ) 因此同构意义下仅需考虑 6 ，矿6 ，0 6 假设i = l l P ，其中z l 珞取 p ： 等 显然p A u t G ，且 6 ，a P b ，a t b p = 6 a h “ P b ，口J 6 ) 其中J = z 1 1 由于歹

6、为锄中任意与p 互素的偶数，则f 可以取遍孙中与P 互素 的偶数 设岛= 6 ，a P b ，a t b ，其中S 的下标2 与a b 中z 是一致的下面考虑& 在A u t G 作用下的轨道 群G 的任一同构映射有如下形式： 妒： ：二：6 ， 其中z 珞，J 锄因而有 筇= 0 J 6 ，n 咖卅6 ，a a + J b 设S ，= 1 6 ，a P b ，a f6 ，且z z 若存在群G 的一个同构映射妒使得 警= S r 当且仅当 a J b ，Q 咖卅6 ，n 甜钾6 = 6 ，a P b ，a 。” 若J = 0 ，则有 i p + J ，i l + J ) = p ，n ， 进而可以得到 r 三( m o d 2 p ) 或f f 7 三p 2 ( m o d 2 p 2 ) 勘= P ，则有 咖+ J ，i l + J ) = ( 0 ，n ， ! 曼箜兰童苤l 王尘壁墼g 型! 旦z 鬯丝堕全囹墼 l + 1 7 三p ( m o d 2 p ) 或I I 三p 2 + p l ( m o d 2 p 2 ) 若J = l ，则有 i p + J ，i l + 歹】=

7、 o ，p ) ， 进而有 I I 三P 2 + p 1 7 ( m o d 2 p 2 ) 或者z 7 l 三p ( 1 7 + ) ( m o d 2 p 2 ) 因此S ，与& 在A u t G 作用下同构当且仅当? 与1 满足下列条件之一：l 三( m o d 2 p ) ； U 三p 2 ( m o d 2 p 2 ) ；l + l 三p ( m o d 2 p ) ；I I 三p 2 + p l ( m o d 2 p 2 ) ；U 三p 2 + p l ( m o d 2 p 2 ) ；l l 三 p ( z + 1 ) ( m o d 2 p 2 ) 对于情形( 3 2 ) 来说，可以分为七足珞中的元和后不是珞中的元这两种情况 进行讨论 若南是珞中的元，取 r ：I a - - 4 a 詹 显然丁A u t G 且 a b ，b ，a p 2 ，r = a 七b ，6 ，a p 2 因而在同构意义下我们仅需考虑 0 6 ，b ，a p 2 若后不是珞中的元且( 七，矿) 笺Z 2 p 2 ，则后为锄中与p 2 互素的偶数 由于D ( n 七) = o ( a 2 ) ，

8、则存在口A u t G 使得 ( a 2 ) 。= a 岛，b a = b 从而 6 ，0 2 b ，a p 2 。= 6 ，n 七b ，a p 2 ) 所以在同构意义下我们仅需考虑伯，a p 2 ，a 2 6 】 2 44 p 2 阶二面体群3 度C a y l e y 图的正规性 在本节中，我们确定了4 矿阶二面体群的3 度C a y l e y 图的正规性，并且完成了4 矿 阶二面体群的3 度C a y l c y 图的分类，同时还得到了两个卸2 阶二面体群的图正则表 示和一类非正规C a y l e y 图 设x = C a y ( G ，S ) 是群G 关于子集S 约C a y l e y 图若Q A u t G ，N Ca _ y ( G ，S ) 垒 C a y ( G ，S 。) 因此，确定4 p 2 阶二面体群的所有3 度C a y l e y 图的正规性仅需确定X = C a y ( C ，& ) 的正规性，其中i = 1 ，2 ，6 在文献【7 6 】中，关于2 他阶二面体群的3 度连通弧传递C a y l e y 图有下述结论： 引理2 4 1 设n 是正整数，

9、X = C a y ( D ，S ) 是2 n 阶二面体群D 关于子集S 的 连通弧传递C a y l e y 图，其中S = 耐，6 ，施南) ，则下列之一成立： ( 1 ) 礼= 3 且s = 6 ，b a ，b a 2 ，此时X 竺K a 3 特另q 地，X 是3 一弧传递的j ( 2 ) 礼= 4 且s = 6 ，b a ，b a 2 ) ，此时X 笺Q 3 兰K 4 ，4 4 K 2 且是2 一弧传递的i ( 3 ) I , = 7 且s = p ，b a ，b a 3 ) ，此时x 同构于H e a w o o d 图且是4 一弧传递的i ( 4 ) 礼= 8 且s = 6 ，b a ，b a 3 ，此时x 同构于M S b i u s K a n t o r 图且是2 弧传递的； ( 5 ) n 为大于1 1 的奇数，存在非平凡的元r 露使得7 2 + r + 1 = 0 ，且S = p ，b a ，b a r + 1 ) ，此时x 是1 正则的且其线图是4 度妻一弧传递的 由引理2 4 1 可知，z J l 理2 4 2 显然成立 引理2 4 2 ( 【7 7 ) 若几是偶数，则不存在二面体群D 2 。的3 度1 正则C a y l e y 图 引理2 4 3 设x = C a y ( G ，研) 是群G 的关于子集研的C a y l e y 图，其中G = ( a ，bIn 驴= b 2 = 1 ，0 6 = n 一1 ) ，研=

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