高等数学第2章极限与连续

1、第二章 极限与连续极限是高等数学中最主要的概念之一，也是研究微积分的重要工具，如导数、定积分、重积分等定义都需要用极限来定义，因此，掌握极限的思想和方法是学好微积分学的基本前提 第一节 极限的定义 教学目的：1.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。2.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。教学重难点：1.极限的概念和左极限与右极限概念及应用；2.无穷小及无穷小的比较；本节将在中学学习过的数列的极限的基础上学习函数的极限、极限性质、无穷小的定义及性质、无穷大的定义及其与无穷小的关系一、数列的极限定义 对于数列，如果当无限增大时，无限趋近于一个确定的常数， 则称为数列的极限记作 或 （）亦称数列收敛于；如果数列没有极限，就称数列是发散的数列极限的运算法则为：如果, ，那么法则1 () ；法则2 () ；法则3 (是常数)；法则4 (以上法则1，法则2可以推广到有限个数列的和与积的情形二、函数的极限1当时，函数的极限定义 如果当的绝对值无限增大（即）时，函数无限趋近于一个确定的常数，那么称为函数当时的极限，记为 或

2、 当时，如图15（b）所示, 函数当的绝对值无限增大时, 函数的图象无限接近于轴也就是，当时，无限地接近于常数零，即在上述定义中，自变量的绝对值无限增大指的是既取正值无限增大（记为），同时也取负值而绝对值无限增大（记为）但有时自变量的变化趋势只能或只需取这两种变化的一种情形，为此有下面的定义：定义 如果当(或)时，函数无限趋近于一个确定的常数A，那么A称为函数当(或)时的极限，记为 或当时，； 或当时，由图15（b）可以看出，及，这两个极限与相等，都是0由图111（b）可以看出，由于当和时，函数不是无限趋近于同一个确定的常数，所以不存在由上面的讨论，我们得出下面的定理：定理 的充要条件是： （证明略）2当时，函数的极限定义 设函数在点的某个近旁（点本身可以除外）内有定义，如果当趋于（但）时，函数无限趋近于一个确定的常数，那么称为函数当时的极限，记为 或 当时，例1 考察极限 (为常数)和解 因为当时，的值恒为，所以因为当时，的值无限接近于，所以3当时，的左、右极限因为有左右两种趋势，而当仅从某一侧趋于时，只需讨论函数的单边趋势，于是有下面的定义：定义 如果当从左侧趋近（记为）时，函数无

3、限趋近于一个确定的常数，那末称为函数当时的左极限，记为 如果当从右侧趋近（记为）时，函数无限趋近于一个确定的常数，那末称为函数当时的右极限，记为 定理 的充要条件是：（证明略）例2 讨论函数当时的极限解 观察图21可知：，因此，当时，的左右极限存在但不相等，由定理2知，极限 不存在例3 研究当0时, 的极限解 观察图22可知：由于,所以当时，的左, 右极限都存在且相等由定理2知0时, 的极限存在，且等于图2111122Ox1yy=xyx图22Oxy三、无穷小量实际问题中，常有极限为零的变量例如，电容器放电时，其电压随着时间的增加而逐渐减小并趋近于零对于这样的变量，有下面的定义：1无穷小量的定义定义 极限为零的变量称为无穷小量，简称为无穷小如果，则变量是时的无穷小，如果，则称是时的无穷小，类似的还有，等情形下的无穷小根据定义可知，无穷小是一种变化状态，而不是一个量的大小，无论多么小的一个数都不是无穷小，只有零是唯一的一个可作为无穷小的常数，无穷小是有极限变量中最简单而最重要的一类，在数学史上，很多数学家都致力于“无穷小分析”2无穷小量的性质定理 有限个无穷小的代数和为无穷小（证明略）注意

4、，无穷个无穷小之和未必是无穷小，如时，都是无穷小，但是，当时，所以不是无穷小定理 有界函数与无穷小的积为无穷小 （证明略）推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小. （证明略）推论2 有限个无穷小的积为无穷小（证明略）例4 求极限解 因为是当时的无穷小，而是一个有界函数，所以3函数极限与无穷小的关系设，即时无限接近于常数A，有就接近于零，即是时的无穷小，若记，于是有定理3 （极限与无穷小的关系）的充分必要条件是，其中是的无穷小例如当时，有，其中就是时的无穷小四、 无穷大量1无穷大的定义定义6 若当（）时，函数的绝对值无限增大，则称函数为当(或)时的无穷大.函数当（或）时为无穷大，它的极限是不存在的，但为了便于描述函数的这种变化趋势，我们也说“函数的极限为无穷大”，并记为 或 例如，当时，是一个无穷大，又例如， 当时，是一个无穷大注意，说一个函数是无穷大，必须指明自变量的变化趋向；无穷大是一个函数，而不是一个绝对值很大的常数2无穷大与无穷小的关系我们知道，当时，是无穷小，是无穷大；当时，是无穷大，是无穷小一般地，在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则是无穷小；反之，如果为无穷小，且，则是无

5、穷大利用这个关系，可以求一些函数的极限例5 求极限解 因为，由无穷大与无穷小的关系，所以五、无穷小量比较由无穷小的性质，我们知道两个无穷小的和、差及乘积仍是无穷小但两个无穷小的商却会出现不同的情况例如，当时， 、均为无穷小，而，两个无穷小之比的极限的不同情况，反映了不同的无穷小趋向于零的“快慢”程度一般地，对于两个无穷小之比有下面定义：定义 设和都是同一过程的两个无穷小量，即，1若，则称是的高阶无穷小量；记作，此时也称是的低阶无穷小量2若，则称与是同阶的无穷小量记作3若，则称与是等价无穷小量记作例16 当时，比较无穷小与的阶解 由于 ，且，所以当时，与是同阶无穷小例17 当时，证明与等价解 由于 ，且所以，当时，与为等价无穷小习题训练1利用函数图像，观察函数的变化趋势，并写出其极限：（1）； （2）；（3） ； （4）；（5）； （6）2设，作出它的图象，求出当时，的左极限、右极限，并判断当时，的极限是否存在？3设，求和 ，并判断在时的极限是否存在？4设，求，5下列函数在自变量怎样变化时是无穷小？无穷大？（1） ； （2）； （3） ； （4）6求下列函数的极限：（1） ； （2）；（

6、3） ； （4）第二节 极限的运算 教学目的：1.掌握极限的性质及四则运算法则;2.掌握利用两个重要极限求极限的方法。 教学重难点：1.极限的四则运算法则；2.两个重要极限；一、函数极限的运算法则与数列极限类似，函数的极限也有如下四则运算法则：设，则法则1 ；法则2 ；法则3 ；法则4 （法则1和法则2可以推广到有限多个函数的情形，上述法则对于时同样成立例1 求极限解 2由例1可见，若函数为多项式，则有例2 求极限解 由例2可见，若为有理分式函数，且时，则有例3 求极限 解 本题分子分母的极限皆为零，但它们有公因式，则例4 求极限()解 当时，故不能直接应用法则1因为，所以 () 例5 求极限解 分子分母极限均不存在，不能直接运用法则分子分母同除以，则二、两个重要极限在计算函数极限时，有时需要利用和这两个极限 1O图231根据在0附近的图形（如图23）可以看出，当时，即一般，若在某极限过程中，则在该过程中有我们来求下列函数的极限例6 求极限解 2例7 求极限解 例8 求极限 解 令, 则时，有，所以 1例9 求极限解 1例10 求极限解 令，则时，且， 则2根据表21，我们可以观察时，

7、的变化趋势2.704812.716922.718152.718272.708282.732002.719642.718422.718302.71828表21可以看出，当时，函数常数，它是一个无理数，即利用代换，则当时，因此有于是得到该极限的另一种常用形式：上述公式可以推广为：我们来求下列函数的极限例11 求极限解 例12 求极限解 先将改写成如下形式：，再令，由于当时，从而例13 求极限解 令，当时，所以例14 求极限解 例15 求极限解因为，令，则，当时，从而四、用Matlab求极限极限运算是高等数学的基础，Matlab提供了计算函数极限的命令，对于复杂的函数求极限，用Matlab计算将既快又准，而且很方便，下面用例题的形式给予演示例18 求极限解 在命令窗口中输入： syms x %确定x为变量，没再次确定的，计算的时候都将视为常量； y=tan(3*x2)/(2*x2+3*(sin(x)3); %确定函数； limit(y) %求极限命令输出结果ans = 3/2说明例19 求极限解 在命令窗口输入： syms x y=1/(x*(log(x)2)-1/(x-1)2; limit(y,x,1,right) %right为右极限 输出结果ans = 1/12说明例20 求极限 解 在命令窗口中输入： syms x y=(1+3/x)x; limit(y,x,inf) %inf表示无穷大 输出结果：ans = exp(3) % exp（x）表示 说明习题训练1求函数的极限.（1）； （2）；（3）； （4）； （5）； （6）；（7）； （8）2求下列函数的极限.（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）（为正整数）3当时，与相比，哪一个是高阶无穷小？

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