圆锥曲线的综合经典例题(有答案解析)
18页1、完美WORD格式 经典例题精析类型一:求曲线的标准方程1. 求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦AB的中点横坐标为的椭圆标准方程. 思路点拨:先确定椭圆标准方程的焦点的位置(定位),选择相应的标准方程,再利用待定系数法确定、(定量).解析:方法一:因为有焦点为,所以设椭圆方程为,,由,消去得,所以 解得故椭圆标准方程为方法二:设椭圆方程 ,因为弦AB中点,所以,由得,(点差法)所以 又 故椭圆标准方程为.举一反三:【变式】已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直,且该焦点与长轴上较近的端点的距离为.求该椭圆的标准方程.【答案】依题意设椭圆标准方程为(), 并有,解之得,, 椭圆标准方程为2根据下列条件,求双曲线的标准方程. (1)与双曲线有共同的渐近线,且过点;(2)与双曲线有公共焦点,且过点解析:(1)解法一:设双曲线的方程为 由题意,得,解得, 所以双曲线的方程为 解法二:设所求双曲线方程为(), 将点代入得, 所以双曲线方程为即(2)解法一:设双曲线方程为=1 由题意易求 又双曲线过点, 又, 故所求双曲线的方程为. 解法二:设双曲线方程为, 将点代入得, 所以双曲
2、线方程为.总结升华:先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置(定位),选择相应的标准方程,再利用待定系数法确定、.在第(1)小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程.然后代点坐标求得方法简便.第(2)小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程.(1)求双曲线的方程,关键是求、,在解题过程中应熟悉各元素(、及准线)之间的 关系,并注意方程思想的应用.(2)若已知双曲线的渐近线方程,可设双曲线方程为().举一反三:【变式】求中心在原点,对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程.(1)一渐近线方程为,且双曲线过点.(2)虚轴长与实轴长的比为,焦距为10.【答案】(1)依题意知双曲线两渐近线的方程是,故设双曲线方程为, 点在双曲线上, ,解得, 所求双曲线方程为.(2)由已知设, ,则() 依题意,解得. 双曲线方程为或.3求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程: (1)过点; (2)焦点在直线:上思路点拨:从方程形式看,求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数;从实际分析,一般需结合图形确定开口方向和一次项系数两个条件,否则,应展开相应的讨论解析:(1)点在第
3、二象限,抛物线开口方向上或者向左 当抛物线开口方向左时, 设所求的抛物线方程为(), 过点, , 当抛物线开口方向上时, 设所求的抛物线方程为(), 过点, , 所求的抛物线的方程为或, 对应的准线方程分别是,.(2)令得,令得, 抛物线的焦点为或 当焦点为时, 此时抛物线方程; 焦点为时, 此时抛物线方程为 所求的抛物线的方程为或, 对应的准线方程分别是,.总结升华:这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论,先入为主,设定一种形式的标准方程后求解,以致失去一解.求抛物线的标准方程关键是根据图象确定抛物线开口方向,选择适当的方程形式,准确求出焦参数P.举一反三:【变式1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)焦点为F(4,0);(2)准线为 ;(3)焦点到原点的距离为1;(4)过点(1,2);(5)焦点在直线x-3y+6=0上.【答案】(1)所求抛物线的方程为y2=16x;(2)所求抛物线的标准方程为x2=2y;(3)所求抛物线的方程y2=4x或x2=4y;(4)所求抛物线的方程为或;(5)所求抛物线的标准方程为y2=24x或x2=8y.【变式2】已知抛物线的顶点在原点,焦点在轴负
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