初等数论模拟试题四套附答案
13页1、初等数论模拟试题二 一、单项选择题 1、), 0(b(C ). A b B b C b D 0 2、如果ab,ba,则(D ). A ba B ba C ba D ba 3、如果1),(ba,则),(baab=(C ). A a B b C 1 D ba 4、小于 30 的素数的个数(A ). A 10 B 9 C 8 D 7 5、大于 10 且小于 30 的素数有( C ). A 4 个 B 5 个 C 6 个 D 7 个 6、如果n3,n5,则 15(A )n. A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 7、在整数中正素数的个数(C ). A 有 1 个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 二、计算题 1、 求 24871 与 3468 的最大公因数? 解: 24871=34687+595 3468=5955+493 595=4931+102 493=1024+85 102=851+17 85=175, 所以,(24871,3468)=17. 2、 求24871,3468=? 解:因为 (24871,3468)=17 所以 24871,3468= 17 346824871 =50
2、73684 所以 24871 与 3468 的最小公倍数是 5073684。 3、求136,221,391=? 解解: 136,221,391=136,221,391 =391, 17 221136 =1768,391 = 17 3911768 =104391=40664. 三、证明题 1、 如果ba,是两个整数,0b,则存在唯一的整数对rq,使得rbqa, 其中br 0. 证明证明 :首先证明唯一性.设 q , r 是满足条件的另外整数对,即 rqba,br 0. 所 以rbqrqb, 即rrqqb,rrqqb. 又 由 于 br 0,br 0,所以brr.如果qq,则等式rrqqb不可 能成立. 因此qq,rr. 其次证明存在性.我们考虑整数的有序列 ,3 ,2 , 0 ,2,3bbbbbb 则整数a应介于上面有序列的某两数之间,即存在一整数q使 bqaqb1. 我们设qbar,则有rbqa,br 0. 2、 证明对于任意整数n,数 623 32 nnn 是整数. 证明:证明: 因为 623 32 nnn =)32( 6 2 nn n =)2)(1( 6 1 nnn, 而且两个连续
3、整数的乘积是 2 的倍数,3 个连续整数的乘积是 3 的倍 数, 并且(2,3)=1, 所以从)2)(1(2nnn和)2)(1(3nnn有)2)(1(6nnn, 即 623 32 nnn 是整数. 3、 任意一个n位数 121 aaaa nn 与其按逆字码排列得到的数 nn aaaa 121 的差必是 9 的倍数. 证明证明: 因为 121 aaaa nn 12 2 1 1 101010aaaa n n n n , nn aaaa 121 = nn nn aaaa 101010 1 2 2 1 1 , 所以, 121 aaaa nn - nn aaaa 121 = ).101 ()101 (10 ) 110(10) 110( 1 1 3 2 3 1 1 nn n n n n aa aa 而上面等式右边的每一项均是 9 的倍数, 于是所证明的结论成立. 4、 证明相邻两个偶数的乘积是 8 的倍数. 证明证明: 设相邻两个偶数分别为)22( ,2nn 所以)22(2nn=) 1(4nn 而且两个连续整数的乘积是 2 的倍数 即) 1(4nn是 8 的倍数. 初等数论模拟试题初等数论模拟试题
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