高等数学课件-d127傅里叶级数
35页1、2019/11/13,同济版高等数学课件,第七节,一、三角级数及三角函数系的正交性,二、函数展开成傅里叶级数,三、正弦级数和余弦级数,第十二章,傅里叶级数,2019/11/13,同济版高等数学课件,一、三角级数及三角函数系的正交性,简单的周期运动 :,(谐波函数),( A为振幅,复杂的周期运动 :,令,得函数项级数,为角频率,为初相 ),(谐波迭加),称上述形式的级数为三角级数.,2019/11/13,同济版高等数学课件,定理 1. 组成三角级数的函数系,证:,同理可证 :,正交 ,上的积分等于 0 .,即其中任意两个不同的函数之积在,2019/11/13,同济版高等数学课件,上的积分不等于 0 .,且有,但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在,2019/11/13,同济版高等数学课件,二、函数展开成傅里叶级数,定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且,右端级数可逐项积分, 则有,证: 由定理条件,对在,逐项积分, 得,2019/11/13,同济版高等数学课件,(利用正交性),类似地, 用 sin k x 乘 式两边, 再逐项积分可得,2019/11/13,同济
2、版高等数学课件,叶系数为系数的三角级数 称为,的傅里叶系数 ;,由公式 确定的,以,的傅里,的傅里叶级数 .,称为函数,简介,2019/11/13,同济版高等数学课件,定理3 (收敛定理, 展开定理),设 f (x) 是周期为2 的,周期函数,并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:,1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;,2) 在一个周期内只有有限个极值点,则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有,x 为间断点,其中,( 证明略 ),为 f (x) 的傅里叶系数 .,x 为连续点,注意: 函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.,简介,2019/11/13,同济版高等数学课件,例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 ,它在,上的表达式为,解: 先求傅里叶系数,将 f (x) 展成傅里叶级数.,2019/11/13,同济版高等数学课件,2019/11/13,同济版高等数学课件,1) 根据收敛定理可知,时,级数收敛于,2) 傅氏级数的部分和逼近,说明:,f (x) 的情况见右图.,2019/11/13,同济版高等数学课件,例2. 设 f (x) 是周
3、期为 2 的周期函数 ,上的表达式为,将 f (x) 展成傅里叶级数.,解:,它在,2019/11/13,同济版高等数学课件,说明: 当,时, 级数收敛于,2019/11/13,同济版高等数学课件,周期延拓,傅里叶展开,上的傅里叶级数,定义在 ,上的函数 f (x)的傅氏级数展开法,其它,2019/11/13,同济版高等数学课件,例3. 将函数,则,解: 将 f (x)延拓成以,展成傅里叶级数.,2为周期的函数 F(x) ,2019/11/13,同济版高等数学课件,当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得,说明: 利用此展式可求出几个特殊的级数的和.,2019/11/13,同济版高等数学课件,设,已知,又,2019/11/13,同济版高等数学课件,三、正弦级数和余弦级数,1. 周期为2 的奇、偶函数的傅里叶级数,定理4 . 对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里叶级数为,周期为2的偶函数 f (x) , 其傅里叶级数为余弦级数 ,它的傅里叶系数为,正弦级数,它的傅里叶系数为,2019/11/13,同济版高等数学课件,例4. 设,的表达式为 f (x) x ,将 f (x
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