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(新课标)2020高考数学大一轮复习 第九章 解析几何 题组层级快练58 椭圆(二)文(含解析)

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    • 1、题组层级快练(五十八)1已知对任意kR,直线ykx10与椭圆1恒有公共点,则实数m的取值范围是()A(0,1)B(0,5)C1,5)(5,) D1,5)思路该题有两种解题思路,一是根据直线和圆锥曲线位置关系的讨论方法,由直线方程和椭圆方程联立组成的方程组必有解,通过消元,进一步转化为方程恒有解的问题,利用判别式0求解参数的取值范围;二是由直线系方程得到直线所过的定点,由直线和椭圆恒有公共点可得,定点在椭圆上或在椭圆内,这样便可得到关于参数m的不等式,解之即可答案C解析方法一:由椭圆的方程,可知m0,且m5.将直线与椭圆的方程联立方程组,得由,得ykx1.代入,得1.整理,得(5k2m)x210kx5(1m)0.因为直线与椭圆恒有公共点,故(10k)24(5k2m)5(1m)20(5k2mmm2)0.因为m0,所以不等式等价于5k21m0,即k2,由题意,可知不等式恒成立,则0,解得m1.综上m的取值范围为m1且m5.方法二:因为直线ykx10过定点P(0,1),要使直线和椭圆恒有公共点,则该点在椭圆上或椭圆内,即1,整理,得1,解得m1.又方程1表示椭圆,所以m0且m5.综上m的取值范

      2、围为m1且m5.2已知椭圆E:1(ab0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点,若AB的中点为M(1,1),则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析kAB,kOM1,由kABkOM,得,a22b2.c3,a218,b29,椭圆E的方程为1.3(2019南昌二模)已知椭圆C:x21,过点P(,)的直线与椭圆相交于A,B两点,且弦AB被点P平分,则直线AB的方程为()A9xy40 B9xy50C2xy20 Dxy50答案B解析设A(x1,y1),B(x2,y2),因为A,B在椭圆x21上,所以两式相减得x12x220,得(x1x2)(x1x2)0,又弦AB被点P(,)平分,所以x1x21,y1y21,将其代入上式得x1x20,得9,即直线AB的斜率为9,所以直线AB的方程为y9(x),即9xy50.4椭圆1上的点到直线x2y0的最大距离是()A3 B.C2 D.答案D解析设椭圆1上的点P(4cos,2sin),则点P到直线x2y0的距离为d,dmax.5(2019广东梅州阶段测评)已知椭圆E:1的一个顶点C(0,2),直线l与椭圆E交于A,B两点,若E的左焦点

      3、F1为ABC的重心,则直线l的方程为()A6x5y140 B6x5y140C6x5y140 D6x5y140答案B解析由题意知F1(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),则设M为AB的中点,则M(,1)由作差得0,将代入上式得.即k,由点斜式,得直线方程为y1(x),即6x5y140.6(2019江西南昌一模)椭圆ax2by21(a0,b0)与直线y1x交于A,B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为,则的值为()A. B.C. D.答案B解析方法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),则ax12by121,ax22by221,即ax12ax22(by12by22),则1,1,(1)1,故选B.方法二:由消去y,得(ab)x22bxb10,可得AB中点P的坐标为(,),kOP,.7(2017课标全国)已知椭圆C:1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切,则C的离心率为()A. B.C. D.答案A解析点A1,A2是椭圆的左、右顶点,|A1A2|2a,以线段A1A2为直径的圆可表示为x2y2a2,该圆的圆心为(0,0),

      4、半径为a.又该圆与直线bxay2ab0相切,圆心(0,0)到直线bxay2ab0的距离等于半径,即a,整理得a23b2.又在椭圆中,a2b2c2,e,故选A.8(2019山西八校联考)椭圆1的左、右焦点分别为F1,F2,弦AB过F1,若ABF2的内切圆周长为,A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则|y1y2|的值为()A. B.C. D.答案A解析在椭圆1中,a5,b4,所以c3.故椭圆左、右焦点分别为F1(3,0),F2(3,0)由ABF2的内切圆周长为,可得内切圆的半径为r.ABF2的面积AF1F2的面积BF1F2的面积|y1|F1F2|y2|F1F2|(|y1|y2|)|F1F2|3|y1y2|(A,B在x轴的上下两侧),又ABF2的面积r(|AB|BF2|F2A|)(2a2a)a5,所以3|y1y2|5,即|y1y2|.9已知椭圆具有如下性质:若椭圆的方程为1(ab0),则椭圆在其上一点A(x0,y0)处的切线方程为1.试运用该性质解决以下问题,椭圆C1:1(ab0),其焦距为2,且过点(1,),点B为C1在第一象限中的任意一点,过B作C1的切线l,l分别与x

      5、轴和y轴的正半轴交于C,D两点,则OCD面积的最小值为()A. B.C. D2答案B解析由题意可得2c2,即c1,a2b21,将点(1,)代入椭圆方程,可得1,解得a,b1,即椭圆的方程为y21,设B(x2,y2),则椭圆C1在点B处的切线方程为xy2y1,令x0,得yD,令y0,可得xC,所以SOCD,又点B为椭圆在第一象限上的点,所以x20,y20,y221,即有2,即SOCD,当且仅当y22,即点B的坐标为(1,)时,OCD面积取得最小值,故选B.10直线m与椭圆y21交于P1,P2两点,线段P1P2的中点为P,设直线m的斜率为k1(k10),直线OP的斜率为k2,则k1k2的值为_答案解析由点差法可求出k1,k1,即k1k2.11(2019河北唐山期末)设F1,F2为椭圆C:1(ab0)的左、右焦点,经过F1的直线交椭圆C于A,B两点,若F2AB是面积为4的等边三角形,则椭圆C的方程为_答案1解析由F2AB是面积为4的等边三角形知AB垂直x轴,得2c,2c4,a2b2c2,解得a29,b26,c23.所以椭圆的方程为1.12椭圆:1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为

      6、2c.若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1,则该椭圆的离心率等于_答案1解析由直线y(xc)知其倾斜角为60,由题意知MF1F260,则MF2F130,F1MF290.故|MF1|c,|MF2|c.又|MF1|MF2|2a,(1)c2a.即e1.13已知椭圆1(0m9)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于A,B两点,若|AF2|BF2|的最大值为10,则m的值为_答案3解析已知在椭圆1(0m1)上两点A,B满足2,则当m_时,点B横坐标的绝对值最大答案5解析由题意知A,B,P三点共线当AB所在直线斜率不存在时,点B的横坐标为0,显然此时点B的横坐标的绝对值不是最大值当AB所在直线斜率存在时,设斜率为k,则直线AB的方程ykx1,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y,得(14k2)x28kx44m0,由根与系数的关系,得x1x2,x1x2.又2,即x12x2.将代入得,x2,x22,两式相除,整理得kx2.由x22得2m2x224(kx2)2x22,x222m2(m210m9)(m5)24.即当m5时,x22有最大值4,此时点B横坐标的绝

      7、对值最大15已知椭圆C:1,过椭圆C上一点P(1,)作倾斜角互补的两条直线PA,PB,分别交椭圆C于A,B两点,求直线AB的斜率答案解析设A(x1,y1),B(x2,y2),同时设PA的方程为yk(x1),代入椭圆方程化简得(k22)x22k(k)xk22k20,显然1和x1是这个方程的两解因此x1,y1,由k代替x1,y1中的k,得x2,y2,所以.16(2019陕西西安模拟)已知椭圆1(ab0)的右焦点为F2(3,0),离心率为e.(1)若e,求椭圆的方程;(2)设直线ykx与椭圆相交于A,B两点,M,N分别为线段AF2,BF2的中点,若坐标原点O在以MN为直径的圆上,且e,求k的取值范围答案(1)1(2)k(,)解析(1)由题意得c3,所以a2.又因为a2b2c2,所以b23.所以椭圆的方程为1.(2)由得(b2a2k2)x2a2b20.设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1x20,x1x2,依题意易知,OMON,四边形OMF2N为平行四边形,所以AF2BF2.因为(x13,y1),(x23,y2),所以(x13)(x23)y1y2(1k2)x1x290.即90,将其整理为k21.因为e,所以2a3,12a2b0),由题意可得解得故椭圆C的方程为y21.(2)直线OP的方程为yx,设直线AB的方程为yxm,A(x1,y1),B(x2,y2)将直线AB的方程代入椭圆C的方程并整理得x2mxm210,由3m24(m21)0,得m24,由OAOB,得0,x1x2y1y2x1x2(x1m)(x2m)x1x2m(x1x2)m2(m21)m(m)m2m20,得m2

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