高中数学 第二章 数列 2.1.1 数列学案 新人教B版必修5
7页1、2.1.1数列1理解数列的概念,了解数列的几种分类2了解数列通项公式的意义,会根据通项公式写出数列的任一项,并能写出简单数列的通项公式3了解数列与函数的关系1数列的有关概念(1)数列的定义:按照_排列起来的一列数叫做数列,数列中的每一个数都叫做这个数列的_(2)数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,an,此数列可简记作an,其中数列的第n项记作_,这里an是数列的简记符号,并不表示一个集合关于定义的理解,应注意以下几点:数列的项与项的序号是不同的概念数列的项是指这个数列中的某一个确定的数,是一个函数值,也就是相当于f(n),而项的序号是指这个数在数列中的位置序号,它是自变量的值,相当于f(n)中的n.次序对于数列来讲是十分重要的,几个不同的数,由于它们的排列次序不同,构成的数列就不是同一个数列,显然数列与数集有本质的区别例如,2,3,4,5,6这5个数按不同的次序排列时,就会得到不同的数列,而2,3,4,5,6中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合数列a1,a2,an,不可以写成a1,a2,an的形式,但是可以简记为an【做一做1】将正整数的前5个数排列成四种形式:1,2,3,4,
2、5;5,4,3,2,1;2,1,5,3,4;4,1,5,3,2.其中可以称为数列的序号是_2数列的通项公式如果数列an的第n项an与_之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的_(1)数列可以用通项公式来描述,也可以用列表或图象来表示;(2)不是所有的数列都有通项公式,如果有,则不唯一【做一做2】下列解析式中不是数列1,1,1,1,的通项公式的是()Aan(1)nBan(1)n1Can(1)n1Dan3数列与函数的关系在数列an中,对于每一个正整数n(或n1,2,k),都有一个数an与之对应,因此,数列可以看成以_(或它的有限子集1,2,k)为定义域的函数anf(n),当自变量按照_的顺序依次取值时,所对应的一列函数值反过来,对于函数yf(x),如果f(i)(i1,2,3,)有意义,那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),f(n),.其图象是一系列孤立的点(1)数列an与函数f(n)an(nN)是不同的,an中的元素具有有序性,如将a1,a2,a3,an排成a3,a1,a2,an,则为不同的数列,而对于函数f(n)an(nN)来说却是一样的(2)数列中,
3、自变量的取值更有规律性,必须从小到大取正整数【做一做31】下列说法不正确的是()A数列可以用图象来表示B数列的通项公式不唯一C数列中的项不能相等D数列可以用一群孤立的点表示【做一做32】数列an的通项公式anf(n),作为函数,它的定义域是()A正整数集NB自然数集NC正整数集N或N的任一子集D正整数集N或其有限子集1,2,3,n4数列的分类(1)按项的个数分类类别含义_数列项数有限的数列_数列项数无限的数列(2)按项的变化趋势分类类别含义递增数列从第二项起,每一项_它的前一项的数列递减数列从第二项起,每一项_它的前一项的数列常数列各项都_的数列【做一做4】已知下列数列:2 000,2 004,2 008,2 012;0,;1,;1,;1,0,1,sin ,.其中,有穷数列是_,无穷数列是_一、对数列通项公式的理解剖析:一个数列an的第n项an与项数n之间的函数关系,如果可以用一个公式anf(n)来表示,则这个公式叫做这个数列的通项公式数列的通项公式的作用在于:当用序号代替通项公式中的n时,可以求出数列的各项,数列的通项公式确定了,数列也就确定了(1)不是所有的数列都能写出它的通项公式
4、,如精确到1,0.1,0.01,0.001,的不足近似值构成的数列,即3,3.1,3.14,3.141,就没有通项公式(2)同一个数列的通项公式不一定是唯一的,如数列1,1,1,1,的通项公式可以写成an(1)n,也可以写成ansin(nN)等等(3)对某些数列,通项公式可写成一个式子,也可用分段函数的形式表达,如数列1,1,1,1,的通项公式还可以写成an(4)有些数列,只给出它的前几项,并没有给出它的构成规律,那么仅由前面几项归纳出的数列的通项公式并不唯一二、函数思想在数列中的应用剖析:数列是一种特殊的函数,判断数列的单调性,求数列的最值、周期等都可以利用函数的思想来解决(1)数列是一种特殊的函数,其定义域为正整数集(或它的有限子集),值域是数列中的项的集合(2)数列的通项公式是项an与项数n的等量关系式从函数的思想看,就是函数值an与自变量n的等量关系式利用通项公式求数列中的项的问题,从函数的观点看就是已知函数解析式求函数值的问题因此,用函数的思想解决数列问题可使问题变得更简单(3)数列中求数列最大(小)项的问题也是常见题目,就是用函数的思想求函数的最值问题,可利用函数求最值的方
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