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高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的几何性质课堂探究学案 新人教B版选修2-1

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    • 1、2.4.2 抛物线的简单几何性质课堂探究探究一 由抛物线的性质求标准方程确定抛物线的标准方程时,从形式上看,只需求一个参数p,但由于标准方程有四种类型,因此,还应确定开口方向,当开口方向不确定时,应进行分类讨论,有时也可设标准方程的统一形式,避免讨论,如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y22mx(m0),焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x22my(m0)【典型例题1】 求适合下列条件的抛物线的标准方程(1)过点(3,2);(2)对称轴为x轴,顶点与焦点的距离为6;(3)抛物线上点(5,2)到焦点F(x,0)的距离是6.思路分析:在求抛物线标准方程时,首先要确定标准方程的类型,即定型,也就是判断焦点的位置,然后根据条件求出p值,即定量解:(1)设所求的抛物线方程为y22p1x(p10)或x22p2y(p20),由过点(3,2),知42p1(3)或92p22,得p1,p2,故所求的抛物线方程为y2x或x2y.(2)设抛物线方程为y22px(p0)或y22px(p0)依题意6,所以2p24.所以抛物线方程为y224x.(3)由已知6,整理得x210x90,即(x1)(x9)0,所以x1或

      2、x9.所以F(1,0),p2,y24x;或F(9,0),p18,y236x.显然,若抛物线为y236x,则它的准线方程为x9.由抛物线的定义,点A(5,2)到F(9,0)的距离是6,而点A(5,2)到x9的距离为14,矛盾所以所求抛物线的标准方程为y24x.探究二 抛物线的实际应用涉及桥的高度、隧道的高低问题,通常用抛物线的标准方程解决,在建立坐标系时,常以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为一条坐标轴,这样使标准方程不仅具有对称性,而且形式更为简单,便于应用,但要注意点的坐标有正负之分,与实际问题中的数据并不完全相同【典型例题2】 河上有一座抛物线形拱桥,当水面距拱顶5 m时,水面宽为8 m,一条小船宽4 m,高2 m,载货后船露出水面的部分高 m,问水面上涨到与抛物线拱顶相距多高时,小船不能通航?思路分析:当小船上货物两侧与抛物线拱顶接触时,船不能通航由于抛物线与小船均是轴对称图形,可设出公共对称轴建立抛物线方程,将已知数据转化为点的坐标求解解:如图,建立直角坐标系,设拱桥抛物线方程为x22py(p0)由题意,将B(4,5)代入方程得p1.6.所以x23.2y.当船两侧和抛物线相接触时

      3、,船不能通航,设此时船面宽为AA,则A(2,yA)由223.2yA,得yA.又知船面露出水面部分为 m,所以h|yA|2(m)答:水面上涨到距抛物线拱顶2 m时,小船不能通航探究三 直线与抛物线相交问题直线ykxb与抛物线y22px(p0)的位置关系判断,通常是将直线方程与抛物线方程联立,整理成关于x(或y)的一元二次方程形式,根据其解的个数进行判断,直线和抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线的斜率为k.(1)一般的弦长公式:|AB|x1x2|.(2)当直线经过抛物线y22px(p0)的焦点时,弦长|AB|x1x2p.【典型例题3】 设抛物线C:y24x,F为C的焦点,过F的直线l与C相交于A,B两点(1)设l的斜率为2,求|AB|的大小(2)求证:是一个定值思路分析:设出直线方程,将直线方程与抛物线方程联立,整理成一元二次方程形式,利用根与系数的关系求解(1)解:依题意得F(1,0),所以直线l的方程为y2(x1)设直线l与抛物线的交点A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y整理得x23x10,所以x1x23,x1x21.方法一:所以|AB|x1x2|5.方法

      4、二:所以|AB|AF|BF|x1x2p325.(2)证明:设直线l的方程为xky1,直线l与抛物线的交点A(x1,y1),B(x2,y2),由消去x整理得y24ky40,所以y1y24k,y1y24.因为(x1,y1)(x2,y2)x1x2y1y2(ky11)(ky21)y1y2k2y1y2k(y1y2)1y1y24k24k2143,所以是一个定值【典型例题4】 已知抛物线y26x,过点P(4,1)引一条弦,使它恰在点P被平分,求这条弦所在的直线方程思路分析:本题主要考查中点弦问题可采用“点差法”或判别式法解法一:设直线上任意一点的坐标为(x,y),弦的两个端点为P1(x1,y1),P2(x2,y2)因为P1,P2在抛物线上,所以y216x1,y226x2.两式相减得(y1y2)(y1y2)6(x1x2)由题意知y1y22,代入得k3.所以直线的方程为y13(x4),即3xy110.解法二:由题意知弦所在的直线的斜率存在且不为零,设所求方程为y1k(x4)由方程组得ky26y24k60.设弦的两端点P1,P2的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),则y1y2.因为P1P2的中点为(

      5、4,1),所以2.所以k3.所以所求直线方程为y13(x4),即3xy110.点评:本题解法一是求与中点有关问题常用的“点差法”设点、作差、找斜率是主要的解题技巧解法二没有求出P1,P2的坐标,而是运用韦达定理及P1P2的中点坐标求出k值,这也是解题中常用的方法一般求出直线方程后,把直线方程与抛物线方程联立,组成方程组看方程组是否有两个解,有两解时求出的直线方程为所求的直线方程探究四 易错辨析易错点不理解抛物线的标准方程的形式【典型例题5】 设抛物线ymx2(m0)的准线与直线y1的距离为3,求抛物线的标准方程错解:由ymx2(m0)可知其准线方程为y.由题意知2,解得m8,故所求抛物线的标准方程为y8x2.错因分析:本题在解答过程中容易出现两个错误:一是不能正确理解抛物线标准方程的形式,错误地将所给方程看成是抛物线的标准方程,得到准线方程为y;二是得到准线方程后,只分析其中的一种情况,而忽略了另一种情况,只得到了一个解正解:ymx2(m0)可化为x2y,其准线方程为y.由题意知2或4,解得m或m,故所求抛物线的标准方程为x28y或x216y.任务型阅读在江苏高考英语试题中占有较大比重,考题形式以表格形和树状形为主,文章体裁以议论文、说明文为主,文章篇幅往往较长,阅读量大,但结构清晰。该题型综合性很强,思维含量较高,答案既要忠实于原文,又要不局限于原文,原词填空题和词性、词形变换题在逐渐减少,通过归纳总结得出答案的题逐渐增多,另外还有推断作者意图和态度的考题,这必将增加该题型的难度,所以得分一直偏低3

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