现代控制理论_第11章_参数估计方法
87页1、第三篇 最优估计理论,概 述,在科学和技术领域中,经常遇到“估计”问题。所谓“估计”,就是对受到随机干扰和随机测量误差作用的物理系统,按照某种性能指标为最优的原则,从具有随机误差的测量数据中提取,信息估计出系统的某些参数状态变量。这就提出了参数和状态估计问题。这些被估参数或被估状态可统称为被估量。,一般,估计问题分两大类,即参数估计和状态估计。,一、参数估计,参数估计属于曲线拟合问题。例如做完某项试验之后,得到若干个观测值 与相应时间 的关系 。我们希望以一条曲线来表示 和 的关系,设,式中 为已知的时间函数,一般是 的幂函数、指数函数或正余弦函数等等。 为 个未知参数,它们不随时间而变。,根据 对观测值 来估计未知参数 。按照什么准则来估计这些参数呢? 这将是第十章讨论的主要问题。,二、状态估计,设系统的状态方程和观测方程分别为,式中, 为状态变量,它是随时间而变的随机过程, 为控制变量, 为系统噪声, 为测量噪声, 为观测值。现要根据观测值来估计状态变量 ,这就是状态估计问题。卡尔曼滤波是一种最有效的状态估计方法,将在第十一章讨论这个问题。,人们希望估计出来的参数或状态愈接近真值愈
2、好,因此提出了最优估计问题。所谓最优估计,是指在某一确定的准则条件下,从某种统计意义上来说,估计达到最优,显然,最优估计不是唯一的,它随着准则不同而不同,因此在估计时,要恰当选择估计准则。,在自动控制中,为了实现最优控制和自适应控制,遇到许多参数估计或状态估计问题,促进了估计理论和估计方法的发展。另外,由于电子计算机的迅猛发展和广泛使用,使得许多复杂的估计问题的解决成为可能,这也促进了估计理论的发展。所以近二十多年来最优估计理论及其应用得到迅速的发展。,第十一章 参数估计方法,本章讨论参数估计准则和估计方法,根据对被估值统计特性的掌握程度不同,可提出不同的估计准则。依据不同的准则,就有相应的估计方法,即最小方差估计、线性最小方差估计、极大似然估计、极大验后估计、最小二乘估计等,本章将对这些估计方法进步不同程度的讨论。,第一节 最小方差估计与线性最小方差估计,一、最小方差估计,最小方差准则,要求误差的方差为最小,它是一种最古典的估计方法,这呼估计方法需要知道被估随机变量 的概率分布密度 和数学期望 。这种苛刻的先验条件,使此方法在工程上的应用受到很大限制。这里只以一维随机变量的估计为例,
3、介绍最小方差估计方法。,将上式展开,得,求上式对 的偏导数,令偏导数等于零,得,因此 的最小方差估值为 ,估计误差为,即,如果估值 的数学期望等于 的数学期望,或者估计误差 的数学期望为零,则最小方差估计是无偏的。因此 的估计是无偏估计。,二、线性最小方差估计,线性最小方差估计就是估计值为观测值的线性函数,估计误差的方差为最小。在使用这种方法时,需要知道观测值和被估值的一、二阶矩,即数学期望 和 、方差Varz和Varx及协方差 和 。,将式(11-8)代入式(11-6)得,把上式改写成,展开上式得,下面讨论 和 都是多维随机变量的估计问题。设 为 维, 为维,已知 和 的一、二阶矩,即,将式(11-14)代入式(11-15)得,将式(11-16)代入式(11-14),可得,第二节 极大似然法估计与极大验后法估计,一 、极大似然法估计,极大似然法估计是以观测值出现的概率为最大作为估计准则的,它是一种常用的参数估计方法。,设 是连续随机变量,其分布密度为 ,含有 个未知参数 。把 个独立观测值 分别代入 中的 ,则得,称函数 为似然函数。当 固定时, 是 的函数。极大似然法的实质就是求出
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