近代物理课件第7章量子力学中的力学量
71页1、第七章 量子力学中的力学量,经典粒子:可用坐标和动量来描写状态,任何状态下,力学量都有确定值。 微观粒子:坐标和动量不能同时有确定值,所以状态用波函数表示,力学量用算符表示。,7.1 表示力学量的算符,一、算符 、算符是指作用在一函数上得出另一函数的运算符号。,、算符的本征值方程,、算符的例子 动量算符: 分量式: 动量算符 表示动量这个力学量。 坐标算符: 哈密顿算符: 经典的哈密顿函数: ,将 代入 中得:, 量子力学中力学量用算符表示的规则: 如果量子力学中的力学量 在经典力学中有相应的力学量,则算符 由经典表示式 中将 换为算符 而得出:,例如,角动量算符:,量子力学中的角动量算符:,二、力学量用厄米算符表示(Hermit operator),、当体系处于定态,即哈密顿算符 的本征态 时,能量有确定值 , 即本征值。当体系处于动量算符的本征态 时,动量有确定值,这个值即 在 态中的本征值。 、算符 表示力学量 ,当体系处于 的本征态 时,力学量有确定值,这个值即 在 态中的本征值。 因为所有力学量的数值都是实数,而表示力学量的算符的本征值就是测量此力学量的可能值,所以,表示力学
2、量算符的本征值必须为实数。 什么类型的算符,本征值为实数?,、厄米算符 量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符。 定义:若 则 称为厄米算符。式中 代表所有变量,积分范围为所有变量变化的整个区域。 、证明厄米算符的本征值是实数。 证:,验证:坐标算符和动量算符是厄米算符。 坐标值 为实数,,对动量算符的一个分量 ,有,分部积分,一、动量算符 、动量算符的本征值方程 是动量算符的本征值, 是属于此本征值的本征函数。 分量式:,7.2 动量算符和角动量算符,它们的解是 本征值 可取所有实数,构成连续谱。 、动量本征函数的归一化,求归一化常数 ?,计算积分:,如果取 ,则动量本征函数归一化到 函数。,即,其中,为什么 不能归一化为1,而是归一化为 函数:这是由于动量本征值可以取连续值, 的各分量可取任意实数,动量本征值构成连续谱。,、动量本征值的分立化:箱归一化,设想将粒子限制在一个边长为L的正方形箱中,取箱中心为坐标原点。引入周期性边界条件:要求波函数在两各相对的箱壁上的对应点有同值,即,或 这样 只能取分立值:,同理,根据周期性条件 和 可得到,相邻两个分立值的差:,当 时: 分立值连续
3、谱。,引入周期性边界条件后,动量本征函数可以归一化 为,归一化常数 ,即 证: 这种将粒子限制在三维箱中,再加上周期性边界条件归一化方法,称为箱归一化。 、单色平面波是具有确定能量和动量的粒子的波函数,它是动量算符的本征态。,测量粒子的动量 ,有确定值 ,即动量算符的本征值。 二、角动量算符 、定义:角动量算符 分量式为,、角动量平方算符: 利用直角坐标和球坐标变量之间的关系 可得,这样 、角动量 分量算符 :,或,、角动量平方算符的本征值方程:,(17),(14),7.3 厄密算符本征函数的正交性,一、属于动量算符不同本征值得两个本征函数 和 互相正交:,引入函数的标积: 则(1),(2)两式可以简化记为:,当,动量算符是厄密算符,量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符,它们的本征值是实数。以上正交性 仅是厄密算符本征函数正交性的一个特例,二、定理:属于厄密算符不同本征值的两个本征函数互相正交。 证:,又 (厄密的本征值为实数),(1)式右乘 ,积分: 简记: (2)式左乘 : 简记: 根据厄密算符的定义 简记:,联立(4)、(5)即: 简记:,(6)式移项: 简写: 而 ,必有 简
4、写: 或表示为:,(6),其中 符号,如果 的本征值不分立,而是构成连续谱。则本征函数 可以归化为 函数: 例如动量算符本征函数 2.正交归一本征函数一例:无限深势阱 能量本征函数,(9),是体系属于的能量算符 的本征值 的本征函数, 对不同的 值(能级 )正交: 其中: 证: 积化和差,3. 是 的本征值 的本征函数 的正交性 三、正交归一函数的例子(厄密算符本征函数互相正交) 1)线性谐振子,2.角动量算符 的本征函数,本征值,3.角动量平方算符 的本征函数,属于本征值 :,2)一维势阱,缔结legendre函数正交性:,而球谐函数: 4.氢原子波函数,算符:,n不同:,三个量子数均不同: 四、简并态函数的正交性 当 的本征值 是 度简并: 一般而言 不正交,但可用 个常数将 个函数重新组合成 个新函数:,总可以选择 而使正交归一条件成立:,一般地,考虑到力学完全集中其它算符对简并态重新分类,可组合消除简并。 如 对 简并,但对 则不简并,归一化为 。,7.4 算符与力学量的关系,根据数学物理方法中的证明,如果有一族函数 构成正交归一完全系,则任意函数都可以用 来展开为级数(广义傅
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