几何模型构造方法

1、几何模型及构造全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。对称半角模型说明：上图依次是45、30、22.5、15及有一个角是30直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。自旋转模型构造方法：遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180度，造中心对称共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以证明。模型变形说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角

2、的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。中点旋转：说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。几何最值模型对称最值(两点间线段最短)对称最值(点到直线垂线段最短)说明：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离。旋转最值(共线有最值)说明：找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段，定长线段的和为最大值，定长线段的差为最小值。剪拼模型三角形四边形四边形四边形说明：剪拼主要是通过中点的180度旋转及平移改变图形的形状。矩形正方形说明：通过射影定理找到正方形的边长，通过平移与旋转完成形状改变正方形+等腰直角三角形正方形面积等分旋转相似模型说明：两个等腰直角三角形成旋转

3、全等，两个有一个角是300角的直角三角形成旋转相似。推广：两个任意相似三角形旋转成一定角度，成旋转相似。第三边所成夹角符合旋转“8”字的规律。相似模型说明：注意边和角的对应，相等线段或者相等比值在证明相似中起到通过等量代换来构造相似三角形的作用。说明：（1）三垂直到一线三等角的演变，三等角以30度、45度、60度形式出现的居多。（2）内外角平分线定理到射影定理的演变，注意之间的相同与不同之处。另外，相似、射影定理、相交弦定理（可以推广到圆幂定理）之间的比值可以转换成乘积，通过等线段、等比值、等乘积进行代换，进行证明得到需要的结论。说明：相似证明中最常用的辅助线是做平行，根据题目的条件或者结论的比值来做相应的平行线。三角形辅助线一、三角形全等的判定1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)。2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。4.有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。5.直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。二、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角

4、形的对应角相等。全等三角形的周长、面积相等。全等三角形的对应边上的高对应相等。全等三角形的对应角的角平分线相等。全等三角形的对应边上的中线相等。三、找全等三角形的方法(1)可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；(2)可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；(3)从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；(4)若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形全等的证明中包含两个要素：边和角。缺个角的条件：缺条边的条件：四、构造辅助线的常用方法1.关于角平分线的辅助线当题目的条件中出现角平分线时，要想到根据角平分线的性质构造辅助线。角平分线具有两条性质：角平分线具有对称性；角平分线上的点到角两边的距离相等。关于角平分线常用的辅助线方法：(1)截取构全等如下左图所示，OC是AOB的角平分线，D为OC上一点，F为OB上一点，若在OA上取一点E，使得OE=OF，并连接DE，则有OEDOFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。例：如上右图所示，AB/CD，BE平分ABC，CE平分BCD，点E在AD上，求证：BC=A

5、B+CD。提示：在BC上取一点F使得BF=BA，连结EF。(2)角分线上点向角两边作垂线构全等利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。如下左图所示，过AOB的平分线OC上一点D向角两边OA、OB作垂线，垂足为E、F，连接DE、DF。则有：DE=DF，OEDOFD。例：如上右图所示，已知ABAD, BAC=FAC, CD=BC。求证：ADC+B=180(3)作角平分线的垂线构造等腰三角形如下左图所示，从角的一边OB上的一点E作角平分线OC的垂线EF，使之与角的另一边OA相交，则截得一个等腰三角形（OEF），垂足为底边上的中点D，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，从而得到一个等腰三角形，可总结为：“延分垂，等腰归”。例：如上右图所示，已知BAD=DAC，ABAC,CDAD于D，H是BC中点。求证：DH=（AB-AC）提示：延长CD交AB于点E，则可得全等三角形。问题可证。(4)作平行线构造等腰三角形作平行线构造等腰三角形分为以下两种情况：如下左图所示，过角平分线OC上的

6、一点E作角的一边OA的平行线DE，从而构造等腰三角形ODE。如下右图所示，通过角一边OB上的点D作角平分线OC的平行线DH与另外一边AO的反向延长线相交于点H，从而构造等腰三角形ODH。2.由线段和差想到的辅助线(1)遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。截长补短法作辅助线。在ABC中，AD平分BAC，ACB2B，求证：ABACCD。因为AD是BAC的角平分线所以BAD=CAD在AB上作AE=AC又AD=AD由SAS得：EADCAD所以EDA=CDA,ED=CD又因为CDA=B+BAD, BDA=C+CAD, C=2B所以BDE=BDA-EDA=(C+CAD)-CDA=(2B+CAD）-（B+BAD）=B所以BED为等腰三角形所以EB=ED=CD所以AB=AE+EB=AC+CD(2)对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。在利用三角形三边关

7、系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明。例1：已知如图1-1：D、E为ABC内两点,求证:ABACBDDECE.（法1）证明：将DE两边延长分别交AB、AC 于M、N，在AMN中，AMAN MDDENE;（1）在BDM中，MBMDBD； （2）在CEN中，CNNECE； （3）由（1）（2）（3）得：AMANMBMDCNNEMDDENEBDCEABACBDDEEC（法2）如图1-2， 延长BD交 AC于F，延长CE交BF于G，在ABF和GFC和GDE中有： ABAF BDDGGF（三角形两边之和大于第三边） （1）GFFCGECE（同上） （2）DGGEDE（同上） （3）由（1）（2）（3）得：ABAFGFFCDGGEBDDGGFGECEDEABACBDDEEC。(3)在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：例如：如图2-1：已知D为ABC内

8、的任一点，求证：BDCBAC。分析：因为BDC与BAC不在同一个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使BDC处于在外角的位置，BAC处于在内角的位置。证法一：延长BD交AC于点E，这时BDC是EDC的外角，BDCDEC，同理DECBAC，BDCBAC证法二：连接AD，并延长交BC于FBDF是ABD的外角BDFBAD，同理，CDFCADBDFCDFBADCAD即：BDCBAC。注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。3.由中点想到的辅助线在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线加倍延长中线及其相关性质（等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。(1)中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形即如图1，AD是ABC的中线，则SABD=SACD=1/2SABC（因为ABD与ACD是等底同高的）。例1 如图2，ABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是DCE的中线。已知ABC的面积为2，求：CDF的面积。(2)倍长中线已知中点、中线问题应想到倍长中线，由中线的性质可知，一条中线将中点所在的线段平分，可得到一组等边，通过倍长中线又可得到一组等边及对顶角，因而可以得到一组全等三角形。如图，延长AD到E，使得AD=AE，连结BE。例3 如图3，在等腰ABC中，AB=AC，在AB上截取BD，在AC延长线上截取CE，且使CE=BD连接DE交BC于F求证：DF=EF过H作HDAC交BC于H则HDF=E,DHB=ACB又AB=ACB=ACBDHB=BDH=DB=CEDH=CE,HDF=E,DFH=CFEHDFCEFD

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