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试验设计与数据处理(第三版)李云雁第4章回归分析

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1、第4章试验数据的回归分析,4.1 基本概念,（1）相互关系确定性关系：变量之间存在着严格的函数关系相关关系：变量之间近似存在某种函数关系（2）回归分析（regression analysis）处理变量之间相关关系的统计方法确定回归方程：变量之间近似的函数关系式检验回归方程的显著性试验结果预测,4.2 一元线性回归分析,4.2.1 一元线性回归方程的建立（1）最小二乘原理设有一组试验数据（如表），若x，y符合线性关系,计算值与试验值yi不一定相等,与yi之间的偏差称为残差：,a，b回归系数（regression coefficient）,回归值/拟合值，由xi代入回归方程计算出的y值。,一元线性回归方程：,残差平方和：,残差平方和最小时，回归方程与试验值的拟合程度最好,求残差平方和极小值：,正规方程组（normal equation）：,解正规方程组：,简算法：,4.2.2 一元线性回归效果的检验,（1）相关系数检验法相关系数（correlation coefficient）：描述变量x与y的线性相关程度定义式：,相关系数特点：,1r1

2、r1：x与y有精确的线性关系,r0：x与y负线性相关（negative linear correlation） r0：x与y正线性相关（positive linear correlation）,r0时，x与y没有线性关系，但可能存在其它类型关系相关系数r越接近1，x与y的线性相关程度越高试验次数越少， r越接近1,当，说明x与y之间存在显著的线性关系,对于给定的显著性水平，查相关系数临界值rmin,相关系数检验,（2）F检验,离差平方和总离差平方和：,回归平方和（regression sum of square）：,残差平方和：,三者关系：,自由度,SST的自由度：dfTn1 SSR的自由度：dfR1 SSe的自由度：dfen2 三者关系： dfT dfR dfe 均方,F检验,F服从自由度为（1，n2）的F分布给定的显著性水平下，查得临界值： F（1，n2) 若F F（1，n2) ，则认为x与y有显著的线性关系，所建立的线性回归方程有意义,方差分析表,4.3 多元线性回归分析,（1）多元线性回归形式试验指标（因变量）y与m个试验因素（自变量） xj（j=

3、1,2,m）多元线性回归方程：,4.3.1 多元线性回归方程的建立,偏回归系数：,（2）回归系数的确定,根据最小二乘法原理：求偏差平方和最小时的回归系数偏差平方和：,根据：,得到正规方程组，正规方程组的解即为回归系数。,4.3.2 多元线性回归方程显著性检验,（1） F检验法总平方和：,回归平方和：,残差平方和：,F服从自由度为（m，nm1）的分布给定的显著性水平下，若FF(m，nm1 )，则y与x1，x2，xm间有显著的线性关系,方差分析表：,（2）相关系数检验法,复相关系数（multiple correlation coefficient）R ：反映了一个变量y与多个变量（ x1，x2，xm ）之间线性相关程度计算式：,R1时，y与变量x1，x2，xm之间存在严格的线性关系 R0时，y与变量x1，x2，xm之间不存在线性相关关系当0R1时，变量之间存在一定程度的线性相关关系 RRmin时，y与x1，x2，xm之间存在显著的线性关系,R一般取正值，0R1,（1）偏回归系数的F检验,计算每个偏回归系数的偏回归平方和SSj ： SSjbj 2Ljj SSj的大小

4、表示了因素xj对试验指标y影响程度，对应的自由度dfj1,服从自由度为（1，nm1）的F分布,如果若F F(1，nm1 )，，则说明xj对y的影响是不显著的，这时可将它从回归方程中去掉，变成（m1）元线性方程,4.3.3 因素主次的判断,（2）偏回归系数的t检验,t值的计算：,单侧t分布表,检验：,如果,说明xj对y的影响显著，否则影响不显著。,4.3.4 试验优方案的确定,线性方程根据偏回归系数正负确定：系数为正，表明试验指标随该因素的增加而增加系数为负，表明试验指标随该因素的增加而减小,4.4.1 一元非线性回归分析,通过线性变换，将其转化为一元线性回归问题：直角坐标中画出散点图；推测y与x之间的函数关系；线性变换；用线性回归方法求出线性回归方程；返回到原来的函数关系，得到要求的回归方程,4.4 非线性回归分析,4.4.2 一元多项式回归,任何复杂的一元连续函数都可用高阶多项式近似表达：,可以转化为多元线性方程：,4.4.3 多元非线性回归,如果试验指标y与多个试验因素xj之间存在非线性关系，如二次回归模型：,4.4.4 试验优方案的确定,回归方程的“规划求解” 根据极值的必要条件：,4.5 Excel在回归分析中的应用,4.5.1 “规划求解”在回归分析中应用解方程组最优化 4.5.2 Excel内置函数在回归分析中应用 4.5.3 Excel图表功能在回归分析中的应用 4.5.4 分析工具库在回归分析中应用,

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