理论力学(第二版)参考答案上部资料
42页1、理论力学(第二版)参考答案理论力学(第二版)参考答案上上部部 (一一三章三章) 第一章第一章 1.2 写出约束在铅直平面内的光滑摆线 上运动的质点的微 分方程,并证明该质点在平衡位置附近作振动时,振动周期与振幅无关. 解:解: 设 s 为质点沿摆线运动时的路程,取 =0 时,s=0 X Y S= 4 a (1) 设 为质点所在摆线位置处切线方向与 x 轴的夹角,取逆时针为正,即切线斜率 = 受力分析得: 则 ,此即为质点的运动微分方程。 该质点在平衡位置附近作振动时,振动周期与振幅无关,为. 1.3 证明:证明:设一质量为 m 的小球做任一角度 0 的单摆运动 运动微分方程为 Frrm)2( sinmgmr 给式两边同时乘以 d dgdrs i n 对上式两边关于积分得 cgrc o s 2 1 2 利用初始条件 0 时0故 0 cosgc 由可解得 0 c o sc o s 2 - l g 上式可化为dtd l g 0 coscos 2 - 两边同时积分可得 d g l d g l t 0 2 0 2 2 2 0 0 2 sin1 2 sin1 0 0 1 2coscos 1 2 进
2、一步化简可得 d g l t 0 0 0 2 2 2 2 sinsin 1 2 1 由于上面算的过程只占整个周期的 1/4 故 0 0 2 0 2 2 sin 2 sin 1 24T d g l t 由 sin 2 sin/ 2 sin 0 两边分别对微分可得 ddcos 2 sin 2 cos 0 2 0 2 sin 2 sin1 2 cos 故 dd 2 0 2 0 sin 2 sin1 cos 2 sin 2 由于0 0 故对应的 2 0 故 d g ld g l T 2 0 2 0 2 0 0 0 2 cos 2 sin sin 2 sin1/cos 2 sin 4 2 sin 2 sin 2 0 故 2 022 sin1 4 K d g l T其中 2 sin 0 22 K 通过进一步计算可得 g l 2T ) 2642 ) 12(531 () 42 31 () 2 1 (1 224222 n K n n KK 1.5 解:解: 如图,在半径是 R 的时候,由万有引力公式, 对表面的一点的万有引力为 , M 为地球的质量; 可知,地球表面的重力加速度 g , x 为取地心到无
3、限远的广义坐标, , 联立, 可得: ,M 为地球的质量; 当半径增加 ,R2=R+ ,此时总质量不变,仍为 M, 此时表面的重力加速度 可求: x y z p点 B e et y 由得: 则,半径变化后的 g 的变化为 对式进行通分、整理后得: 对式整理,略去二阶量,同时远小于 R,得 则当半径改变 时,表面的重力加速度的变化为: 。 1.6 解:由题意可建立如图所示的平面极坐标系 则由牛顿第二定律可知, 质点的运动方程为 sin)2( cos)( 2 mgrrm mgFrrm 其中, X VtLrLrVr, 0 1.8 设质点在平面内运动的加速度的切向分量和法向分量都是常数,证明质点的轨道为对数螺线。 解:解:设,质点的加速度的切向分量大小为,法向分量大小为。(其中、为常数)则有 其中 为曲率半径。 由式得 其中是初始位置,是初始速度大小。 把式代入式得 由式 对式积分则得 其中是初始角大小。我们把式转化为时间关于角的函数 将式代入式,于是得质点的轨道方程 当我们取一定的初始条件时,令。方程可以简化为 1111 即质点的轨迹为对数螺线。 1.9 解:解:(1)从A点到原长位置,此时
4、间内为自由落体运动。 根据能量守恒: 2 1 2 1 mVmgl , 所以在原长位置时: 11 2glV 因为加速度为g,所以,到达原长的时间为: g l g V t 12 1 20 (2)从原长位置到最低点D处,以原长位置为坐标原点,向下为正方向,建立坐标轴Z。 mgkl zmkzmg 2 化简得: gz l g z 2 解微分方程得: 2 2 2 2 1 sincoslt l g Ct l g Cz 因为t2=0时,z=0, 11 2glVz 所以, t l g glt l g glzlt l g llt l g lz 2 1 2 22 2 21 2 2 cos2sin,sin2cos 当0 z 时, 2122 2 112 2 )2(,) 2 tan(llllz l l g l t 此时 (3)所以总时间为 ) 2 tan( 2 2 1121 21 l l g l g l ttt A,D间总距离为 )2( 1222121 lllllzzs 1 1- -1111 解:解: (1)质点运动分为三个阶段。第一阶段为圆周运动,从释放质点到绳子张力为零;第二阶 段为斜抛运动,重新下降到与圆周
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