构造平行四边形证几何题技巧

1、 构造平行四边形证几何题技巧总结总论：一、有关线段的证明. 构造平行四边形证两线段平行. 构造平行四边形证两线段相等. 构造平行四边形证线段的不等关系. 构造平行四边形证线段的倍分关系. 构造平行四边形证两线段互相平分. 构造平行四边形证线段的和差关系二、有关角的证明. 构造平行四边形证角的不等关系与相等关系三、有关点的证明、证三线共点四、有关线段长度、角的度数、面积等计算与证明、在计算角的度数中的妙用10.在计算线段长度中的妙用1、证特殊图形1、证面积问题在证明或计算某些几何问题时，若能根据图形的特征，添加恰当的辅助线构造出平行四边形，并利用其性质可使问题化难为易，化繁为简，下面举例说明。一、有关线段的证明. 构造平行四边形证两线段平行 例1. 已知如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于O，E、F分别为OB、OD的中点，过O任作一直线分别交AB、CD于G、H。求证：GF/EH。证明：连结GE、FH四边形ABCD是平行四边形又四边形EHFG是平行四边形例2在ABC中，AE、BD、CF为中线，FMBD，DMAB。求证：MCAEBECMAFD证明：连结AM、FD。FMBD，DMAB

2、，四边形FBDM为平行四边形BFDM AFBF AFDM四边形AFDM为平行四边形AMFD又F、D、E分别为AB、AC、BC边中点FDECAMEC，四边形AECM为平行四边形MCAE。. 构造平行四边形证两线段相等 例3. 如图，中，D在AB上，E在AC的延长线上，BD=CE连结DE，交BC于F，BAC外角的平分线交BC的延长线于G，且AG/DE。求证：BF=CF分析：过点C作CM/AB交DE于点M，可以证明BD=CM，然后再利用平行四边形的性质得到BF=CF证明：过点C作CM/AB交BE于点M，连接BM、CD，则CME=ADE四边形BMCD为平行四边形故BF=CF. 构造平行四边形证线段的不等关系 例4. 如图，AD是的边BC上的中线，求证：分析：欲证，即要证，设法将2AD、AB、AC归结到一个三角形中，利用三角形任意两边之和大于第三边来证明。注意到AD为的中线，故可考虑延长AD到E，使DE=AD，则四边形ABEC为平行四边形。从而问题得证。证明：延长AD到E，使DE=AD，连结BE、EC四边形ABEC是平行四边形在中，AE<AB+BE即2AD<AB+AC点评：此题是利用

3、三角形三边关系定理、平行四边形的判定，通过延长中线将证明三角形中三条线段间的不等关系，转化为三角形三边之间的关系，从而使问题迎刃而解。. 构造平行四边形证线段的倍分关系 例5. 如图，分别以中的AB、AC为边向外作正方形ABEF和正方形ACGH，M是BC的中点，求证：FH=2AM证明：延长AM到D，使MD=AM，连结BD、CD，是BC的中点四边形ABDC为平行四边形又AF=BA，AH=AC=BD故FH=2AM例6如图5，分别以ABC的边AB、BC为边向外作正方形ABDE和BCFG，BM为AC边上的中线。求证：DG2BMNCFGDBAME证明：延长BM到N，使MNBM，连结AN、CN。则四边形ANCB为平行四边形ANBC又BGBC，ANBG又DBG180°ABCBAN180°ABCDBGBANDBBADBGBANDGBN，而BN2BMDG2BM. 构造平行四边形证两线段互相平分 例7. 平面上三个等边三角形两两共有一个顶点，如图所示，求证：CD与EF互相平分分析：要证CD与EF互相平分，须证四边形DFCE是平行四边形证明：连结DE、DF、AF易知AD=AB=BD又AE

4、=AC，AD=ABDAE=60°EAB=BAC四边形DECF是平行四边形故CD与EF互相平分. 构造平行四边形证线段的和差关系 例8. 如图，中，点E、F在边AB上，AE=BF，ED/AC/FG，求证：ED+FG=AC证明：过E作EH/BC交AC于H四边形CHED为平行四边形又AE=BF，例9 如图4，在ABC的边AB上截取AEBF，过E作EDBC交AC于D，过F作FGBC交AC于G。求证：证明：过G作GHAB交BC于H，则四边形FBHG为平行四边形AEDGFBCH二、有关角的证明. 构造平行四边形证角的不等关系与相等关系 例10. 如图，在梯形ABCD中，AD/BC，对角线AC>BD求证：DBC>ACB证明：过点D作DE/AC交BC的延长线于点E，则四边形ACED是平行四边形又在中，DBE>E例11 如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是CD、AB的中点，直线EF分别交BC、AD延长线于S、T，求证：ATF=BSF.ACEDSTGFBH【分析】由于ATF和BSF不在同一个三角形内，又不可能在两个全等的三角形内，所以需要把两个角转移，由此想到会通

5、过某些点做平行线，再结合平行四边形性质和全等三角形性质以达到目的.证明 过点F做GHCD，且FG=FH，连接DG、CH、AG、BH.则四边形DGHC和四边形AGBH是平行四边形.AG=BH，DG=CH，DG/SF/CH. ADG=ATF，BCH=BSF.又AD=BC，ADGBCH（SSS），ADG=BCH，ATF=BSF.三、有关点的证明、证三线共点BHCMDANLFEO例12 求证：四边形两组对边中点连线与两对角线中点连线这三线共点.【分析】 如图，即证EF、MN和HL三线共点，易猜想这三线两两互相平分，结合平行四边形对角线性质，可想到构造平行四边形.证明 如图，设N、H、M、L、F、E分别为AB、BC、CD、DA、AC、BD的中点，只需证明EF、LH和ML三线共点. 连接LE，EH，HF，LF，NE，EM，MF，FN.则LE、HF分别为ABD和ABC的中位线，所以LEAB，HFAB，所以LEHF，故四边形EHFL是平行四边形，设EF，LH相交于O，则O平分EF.同理可证：四边形NFME是平行四边形，所以MN平分EF，即MN经过点O.故EF，LH，MN三线共点.四、有关线段长度、角的

6、度数、面积等计算与证明、在计算角的度数中的妙用例13 如图，在等腰ABC中，延长边AB到点D，延长边CA到点E，连结DE，恰有AD=BC=CE=DE，求BAC的度数.DECABF【分析】 题设条件给出的是线段的等量关系，要求的却是角的度数，相等的线段可得到全等三角形、特殊三角形，为此需通过构造平行四边形改变它们的位置.证明 过点C做CF/AD，过点D做DF/BC，CF与DF相交于F，连结EF.则四边形DBFC是平行四边形，所以DF=BC，FC=DB. ADE中，AD=ED，其底角EAD必为锐角，则BAC必为钝角，必为ABC的顶角，所以AB=AC，又EC=AD，AE=DB，AE=FC. AD/FC，EAD=ECF，ADECEF（SAS），EF=DE，从而DE=DF=EF，故EDF是等边三角形. 设BAC=，则ADF=ABC=，DAE=，ADE=1800-2DAE=.因为ADF+ADE=EDF=，所以：+，解之得，即BAC=.10.在计算线段长度中的妙用ADGCBFE例14 四边形ABCD中，已知AB=，BC=，CD=，ABC=，BCD=，求AD的长.【分析】 所给的条件与要求的AD无法直

7、接建立关系，因此需要将AD转移到某个特殊三角形内，注意到ABC和BCD的补角的度数分别是和，不难做出辅助线了.解 过点A作AFCB于F，过点D作DEBC于E，则AF/DE，再过点F作FG/AD交DE于G，那么四边形AFGD为平行四边形. ABC=，BCD= FBA=，ECD= 在RtABF中，AF=BF=AB= 在RtCED中，CE=CD=3DE= EG=DE-DG=DE-AF=，EF=FB+BC+CE=8 在RtFEG中， FG= 故AD=1、证特殊图形例15 如图6，在梯形ABCD中，ABCD，AC = BD .求证：梯形ABCD是等腰梯形 .证明：过C点作CEBD交于AB的延长线于点E，则四边形CDBE是平行四边形.BD = CE，1 =E .CDABE21（图6）又AC = BD， AC = CE，2 =E .又AB = BA，DABCBA .AD = BC .梯形ABCD是等腰梯形 .1、证面积问题例16如图7，E是梯形ABCD腰DC的中点.求证：SABE =S梯形ABCD . CDABEMN12（图7）证明：过点E作MNAB，交BC于N，交AD的延长线于M，则四边形ABNM是平行四边形 .SABE =S平行四边形ABNM . 又ADBC，DE = CE ,1 =C，M =2 ，EMDENC .S梯形ABCD = S平行四边形ABNM ，SABE =S梯形ABCD . 同步练习： 1. 如图1，在梯形BCED中，DE/BC延长BD、CE交于A，在BD上截取BF=AD。过F作FG/BC交EC于G，求证：DE+FG=BC。 2. 如图2，中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，BE=CF，EF交BC于D。求证：DE=DF 3. 如图3，平行四边形ABCD中，E、G、F、H分别是四条边上的点，且AE=CF，BG=DH，求证：EF与GH互相平分 4. 如图4，已知AB=AC，B是AD的中点，E是AB的中点，求证CD=2CE 5. 已知：如图5在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，点E在BC上，点F在AD上，AF=CE，EF与对角线BD相交于点O，求证：O是BD的中点。、如图，在ABC中，AB=10，AC=6，那么BC上的中线AD的取值范围是 、如图，六边形ABCDEF中，若A=B=C=D=E=F，且AB+BC=11，

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