数学：第一章集合与函数概念 复习课件(新人教a版必修1)

1、章末归纳总结,一、集合的概念与表示，集合间的关系与运算 1理解用描述法表示的集合中元素的属性是解决集合问题的重要基本功 例1 (1)集合Ay|yx，By|yx2，则AB_. (2)集合A(x，y)|yx，B(x，y)|yx2，则AB_. 解析 (1)集合A是函数yx的值域，AR，集合B是函数yx2的值域，By|y0，ABy|y0故填y|y0,2熟练地用数轴与Venn图来表达集合之间的关系与运算能起到事半功倍的效果 例2 集合Ax|x2，Bx|4xp0，若BA，则实数p的取值范围是_,例3 设全集Ua，b，c，d，e，若ABb，(UA)Bd，(UA)(UB)a，e，则下列结论中正确的为 ( ) AcA且cB BcA且cB CcA且cB DcA且cB 答案 B,解析 画出Venn图如图，依次据条件将元素填入，ABb，故b填在A与B公共部分，(UA)Bd，故d填在A圈外，B圈内，又(UA)(UB)a，e，a，e填在A、B两圈外，只剩下一元素c不能填在上述三个位置，故应填在A内B外，cA且cB，选B.,3含字母的集合的相等、包含、运算关系问题常常要进行分类讨论讨论时要特别注意集合元素的互异性,

2、4空集是任何集合的子集，解题时要特别注意 例5 集合Ax|x2xa0，B2,1，若AB，则实数a的取值范围是_,5新定义集合，关键是理解“定义”的含义，弄清集合中的元素是什么 例6 A、B都是非空集合，定义A*Bx|xabab，aA，bB且bAB，若A1,2，B0,2,3，则A*B中元素的和为_ 解析 由A*B的定义知，a可取1,2，b可取0,3，A*B中的元素xabab， A*B1,7,2,11，其元素之和为21.,6熟练掌握ABABAABB及集合的运算是解决一些集合问题的基础 例7 (1)如果全集Ux|x25x60，xN，A2,3，B1,3,5，则U(AB)_，AUB_. (2)设Ax|xa0，Bx|ax10，且ABB，则实数a的值为 ( ) A1 B1 C1或1 D1，1或0,解析 (1)Ux|(xb)(x1)0，xNx|1x6，xN1,2,3,4,5，AB1,2,3,5， U(AB)4，AUB2,32,42 故依次填4，2 (2)当a0时，B ，ABB；,二、函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值及应用 1解决函数问题必须首先弄清函数的定义域 解析 由x24x0得，x4或x0

3、，又二次函数ux24x的对称轴为x2，开口向上，故f(x)的增区间为0，),2求复合函数的定义域，关键是深刻理解“函数的定义域是使函数有意义的自变量x的允许取值范围”,点评 注意上面的虚线箭头，(1)中前面的x与后面的2x1取值范围相同，都是0,1，(2)中前面的x2与后面的x的取值范围相同，而x2中的“x”允许取值范围是0,1,3熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数和y 等的图象特征熟练判断函数的单调性、奇偶性，了解常见对称特征和平移 (1)yf(x)的图象与yf(x)的图象关于y轴对称； (2)yf(x)的图象与yf(x)的图象关于x轴对称； (3)yf(x)的图象与yf(x)的图象关于原点对称； (4)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称； (5)如果函数yf(x)对定义域内的一切x值，都满足f(ax)f(ax)，其中a是常数，那么函数yf(x)的图象关于直线xa对称,(6)将yf(x)的图象上各点向右(左)平移a(a0)个单位，可以得到函数yf(xa)(yf(xa)的图象 将yf(x)的图象上各点向上(下)平移a(a0)个单位，可以得到yf(x)a(或yf(x)

4、a)的图象 (7)y|f(x)|的图象可由yf(x)的图象位于x轴及上方的部分不变，下方图象作关于x轴的对称翻折而得到 yf(|x|)的图象在y轴及其右侧部分与yf(x)图象相同，而yf(|x|)是偶函数，再在y轴左侧作右侧部分的对称图形即可,例3 已知函数f(x)x22ax2，x5,5 (1)当a1时，求函数f(x)的最大值和最小值； (2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间5,5上是单调函数 分析 第(1)问，将a1代入，根据二次函数的图象得出结论；第(2)问，根据二次函数的对称轴的位置确定单调性,解析 (1)当a1时， f(x)x22x2(x1)21，x5,5， f(x)的对称轴为x1. x1时，f(x)取最小值1； x5时，f(x)取最大值37. (2)f(x)x22ax2(xa)22a2的对称轴为xa，f(x)在5,5上是单调函数 a5，或a5，即a5，或a5.,三、注重数学思想与方法的提炼与掌握，养成自觉运用数学思想与方法分析解决数学问题的思维习惯 1数形结合的思想 例1 设函数f(x)x22|x|1(3x3) (1)证明f(x)是偶函数； (2)指出函数f(x)的单调

5、区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数； (3)求函数的值域,解析 (1)f(x)(x)22|x|1 x22|x|1f(x)，f(x)是偶函数 (2)当x0，时，f(x)x22x1(x1)22， 当x0时，f(x)x22x1(x1)22， 根据二次函数的作图方法，可得函数图象，如下图所示,函数f(x)的单调区间为3，1)，1,0)，0,1)，1,3 f(x)在区间3，1，0,1上为减函数，在1，0)，1,3上为增函数 (3)当x0时，函数f(x)(x1)22的最小值为2，最大值为f(3)2. 当x0时，函数f(x)(x1)22的最小值为2，最大值为f(3)2； 故函数f(x)的值域为2,2,例2 已知关于x的方程x24|x|5m有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是_ 解析 设y1x24|x|5，y2m，由于y1x24|x|5为偶函数，画出x0的图象，再由对称性可画出x0时的图象，由图可见1m5时方程有4个根1m5.,例3 f(x)为偶函数，且在(0，)上为增函数，f(4)0，则xf(x)0的解集为 ( ) A(，4)(4，) B(4,0)(0,4) C(，4)(0

6、,4) D(4,0)(4，),例4 函数ya|x|与yxa的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是 ( ) A(1，) B(1,1) C(，11，) D(，1)(1，) 解析 画出ya|x|与yxa的图象,2函数与方程的思想 函数与方程可以相互转化，注意运用函数与方程的思想解决问题 要特别注意掌握一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的分布,方程()有两不等实根0，方程()有两相等实根0，方程()无实根0，方程()有实数解0. 方程()有零根c0.,一元二次方程根的分布比较复杂，以上仅列出了一些常见情形，只要抓住根的判别式、韦达定理、根的表达式和相应函数的图象，进行综合考察，总能顺利解决,例5 若函数f(x)的定义域为R，且满足f(x)2f(x)3x，则f(x)必为 ( ) A奇函数而不是偶函数 B偶函数而不是奇函数 C既是奇函数又是偶函数 D既不是奇函数也不是偶函数 解析 f(x)2f(x)3x对任意xR成立， f(x)2f(x)3x，解得f(x)x. f(x)f(x)， f(x)必为奇函数故选A.,点评 将关于函数f(x)的关系式f(x)2f(x)视作关于f(x)与f(x)的“二

7、元一次方程”，利用恒成立，再构造一个“二元一次方程”解方程组，足见转换看问题的角度的威力,例6 已知关于x的方程2kx22x3k20的两实根一个小于1，另一个大于1，则实数k的取值范围是( ) Ak0 Bk0 解析 设f(x)2kx22x3k2， 由题意知kf(1)0， k0或k4，故选D.,3分类讨论的思想 在求解数学问题中，遇到下列情形常常要进行分类讨论 涉及的数学概念是分类定义的； 运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的； 求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性； 由运算的限制条件引起的分类 由实际问题的实际意义引起的分类,数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值会导致不同的结果 较复杂的或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的 由图形的不确定性引起分类,例8 若f(x)(m1)x2(m1)x3(m1)0对一切实数x恒成立，则m的取值范围是 ( ) A(1，) B(，1),解析 当m10时，显然成立 当m10时，0 点评 f(x)ax2bxc不一定是x的二次函数，只有a0时才是故解决这类含参数系数的问题应注意分类讨论,例9 设集合Axy，xy，xy，

8、Bx2y2，x2y2,0，且AB，求实数x和y的值及集合A、B. 解析 AB,0B，0A， 若xy0，或xy0，则x2y20与集合元素的互异性矛盾，xy0且xy0，xy0， x0或y0， 若y0，则与集合元素的互异性矛盾，x0， Ay，y,0，By2，y2,0，,点评 观察能力是学习数学必须培养的一种重要能力审题时，注意观察分析，找出解决问题的关键所在，本题中AB,0B，即是解题的突破口,4转化与化归的思想 在处理问题时，把待解决或难解决的问题，采用某种手段通过某种转化过程，将问题进行变换和转化，归结为一类已经解决或容易解决的熟知问题，进而实现解决问题的目的，就是转化与化归的思想方法这种思想方法一般总是将复杂的问题变换转化为简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题，把未知的问题转化为已知的问题，把难解的问题转化为容易求解的问题，从而找到解决问题的突破口，转化在高中数学中具有神奇的威力，要在今后的学习中不断体会、总结、积累，逐步形成能力,例10 函数yf(x)是R上的偶函数，且在(，0上是增函数，若f(a)f(2)，则实数a的取值范围是 ( ) Aa2 Ba2 C2a2 Da2或a2 解析 f(x)为偶函数， f(a)f(2)f(|a|)f(2)， f(x)在(，0上单增，f(x)在0，)上单减，|a|2，a2或a2，选D.,例11 已知a2，b2，比较ab与ab的大小 解析 令a2x，b2y，则x0，y0， ab(ab)(2x)(2y)(4xy)xyxy0，

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